高三数学开学摸底考01（新高考专用）（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考01（新高考专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．若全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据集合的包含关系逐一判断.【详解】，，，则，A错误，，B错误，C正确，或，D错误.故选：C.2．设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由的周期性化简，计算后判断所求复数对应点的象限.【详解】由复数对应的点在第四象限，则设，由得，由，得复数对应的点在第二象限.故选：B.3．记是等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式可得，即可充要条件的定义求解.【详解】若是递增数列，则公差，所以，故，所以为递增数列，若为递增数列，则，则，故，所以是递增数列，故“是递增数列”是“是递增数列”的充要条件，故选：C4．函数在上单调递减，则实数取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【详解】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选：A.5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D6．已知为锐角，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由诱导公式求出，再由倍角公式求.【详解】由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D7．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【详解】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.8．设，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】易得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性即可比较的大小关系，即可得解.【详解】，令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以.综上，.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（    ）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2C．极差可能是4 D．众数可能是2【答案】BD【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.【详解】设这5个数字为，对于A：若取到数字4，不妨设为，则，可得，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，则这5个数字的方差，不合题意，故A错误；对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，若极差是4，这最大数为5，不妨设为，则这5个数字的平均数，则，可知这3个数有2个1，1个2，此时这5个数字的方差，不合题意，故C错误；对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故BD正确；故选：BD.10．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）  A． B．数列是递减数列C．数列是等比数列 D．【答案】ACD【分析】求导得切点处的切线方程，即可令0判断A,根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断BC，根据等比求和公式即可求解D.【详解】，所以在点处的切线方程为：，令0，得，故A正确.，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以，D正确.故选ACD.11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是（）A．A1C⊥平面B．存在点P，使得AC1∥平面C．存在点P，使得点A1到平面的距离为D．用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【答案】ACD【分析】连接，首先证明平面，然后由⊥平面可判断A，由平面可判断B，由点A1到平面的距离的取值范围为可判断C，过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形，可判断D.【详解】  连接因为，所以＝，所以又平面，平面，所以平面同理可证，平面又，、平面，所以平面平面易证⊥平面，所以⊥平面，A正确又平面，所以与平面相交，不存在点P，使得∥平面，B不正确.因为，点到平面的距离为所以点A1到平面的距离的取值范围为又，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为，C正确.因为，所以，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形又，且，所以截面为梯形，D正确故选：ACD12．已知是定义在R上的函数，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，为的导函数，则（    ）A．B．C．的图象关于直线对称D．【答案】ABD【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，可得，则的周期为4，对A，，令得，故A选项正确；对B，又，则的图象关于对称，则，，令，则，故B正确；对C，因为，则的图象关于直线对称，故C错误；又，所以，由以上可知，，，函数的周期为4，则，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知的展开式中的常数项为240，则．【答案】3【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值.【详解】的展开式的通项，令得，令，无解，所以的展开式中的常数项为，所以.故答案为：314．若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则．【答案】4【分析】首先得出是函数图象的对称中心，所以，然后由数量积的坐标运算公式计算即可.【详解】因为，所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，可得，则．故答案为：4.15．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是【答案】【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可.【详解】，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．16．如图，在直三棱柱中，，若为空间一动点，且，则满足条件的所有点围成的几何体的体积为；若动点在侧面内运动，且，则线段长的最小值为．  【答案】【分析】根据球的体积公式即可求解空1，根据球的截面圆性质，结合线面垂直以及点到圆上的最小距离即可求解空2.【详解】由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的球面，所以围成的球的体积为，过作，由，则由等面积法可得,由于在直三棱柱中，平面平面故,由于平面，故平面，由于平面，故,所以,由于到平面的距离和点到平面的距离相等，均为，又，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的球与侧面的截面圆，该截面圆的半径为,圆心为,且满足，因此点的最小距离为，故，故答案为：，  四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2023·安徽·校联考一模）已知数列满足，且点在直线上(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得结果；（2）根据裂项相消求得，并结合不等式恒成立得出结果.【详解】（1）由点在直线上得，所以数列是以首项为，公差为2的等差数列，故，即．（2），所以，要使对恒成立，，即，又，所以的最小值为5．18．（12分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一由边化角结合正弦展开式求得；方法二由余弦定理求得；（2）先用三角形面积公式得出，再结合基本不等式求出最小值.【详解】（1）方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.（2），，.在中，，当且仅当时上式等号成立，的最小值为.19．（12分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？了解人工智能不了解人工智能合计男生女生合计(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送科普材料，求选取的人中至少有人了解人工智能的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取人科普材料，记其中了解人工智能的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【详解】（1）因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能人数为，则了解人工智能的男生有人，结合男生和女生各有人，填写列联表为：了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100则，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.（2）解：①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，由题意可知，，所以，，.20．（12分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．(1)若平面，求；(