高三文科数学开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）（解析版）

2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出集合后，由并集的性质运算即可得.【详解】由得，则，所以.故选：A．2．已知复数满足，则（    ）A．3 B． C．7 D．13【答案】B【分析】由题设可得，令，且，结合复数乘方运算求参数，即可得模.【详解】由题设，令，且，则所以，故，故.故选：B3．若实数，满足，则的最大值为（    ）A．5 B．7 C．9 D．6【答案】C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为故选：C．4．已知角满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.【详解】，，，故选：B5．执行下面的程序框图，则输出的的值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】运行程序，然后计算输出的的值.【详解】运行程序，，，判断否，，，判断否，，，判断否，，以此类推，……，，判断否，，，判断是，输出.故选：B6．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ）A．甲、乙两家商店营业额的极差相同B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差【答案】C【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断.【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误；B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误；C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确；D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为，故甲商店营业额的方差，乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误.故选：C.7．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为，，又因为，所以，，所以，，即.故选：C.8．已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（    ）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根据题目条件推出函数的一个周期，从而得到，再根据和得到答案.【详解】因为为偶函数，所以，所以，因为，故，即，所以，故，故函数的一个周期，故，中，令得，，因为，所以，故.故选：A9．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出直观图，证明出线面垂直，得到即为与平面所成角，求出各边长，求出正切值.【详解】如图，四棱锥中，由题意得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，故即为与平面所成角，其中，，，所以，又，，由勾股定理得，所以.故选：D10．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于的不等式的解集为（）A．{或} B．{或}C．{或} D．{或}【答案】C【分析】利用等差中项与等比中项的性质分类讨论解不等式即可.【详解】依题意，由，是函数的两个不同的零点，可知，是一元二次方程的两个不同的根，由根据根与系数的关系，可得，因为，所以，又因为，，这三个数可适当排序后成等比数列，所以只有为该等比数列的等比中项才满足题意，即，因为，，这三个数可适当排序后成等差数列，所以只有不能为该等差数列的中项，当为等差中项时，根据等差中项的性质有，当为等差中项时，根据等差中项的性质有，综合，可得，所以不等式，解得或.故选：C11．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合三角函数性质求解作答.【详解】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，因为，则，而圆O的方程为，设点，于是，，当且仅当，即时，，所以的最大值为6.故选：B12．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】与相切于点，由几何意义得到最小值为0，当不与重合时，作出辅助线，由几何意义得到，求出最大值，从而得到取值范围.【详解】可看作到直线的距离，可看作到点的距离，如图所示，联立与得，，则，此时，解得，故，故与相切于点，此时取得最小值，最小值为0，当不与重合时，过点作⊥于点，则，数形结合可知，当运动至时，，此时取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，若直线与曲线相切，则.【答案】/【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.【详解】设切点为，，由题意可得，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以，所以切点为，则，解得.故答案为：.14．已知具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则的最小值为．【答案】/4.5【详解】设椭圆中长半轴长为，双曲线中实半轴长为，椭圆与双曲线的焦距为，则，即可得，由P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，可得，两式相加得：，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：15．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为.【答案】【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，平面，所以即为与平面所成角，则，又因为，，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：16．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则当边取得最大值时，的周长为.【答案】/【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值，利用正弦定理可求得的最大值及其对应的的值，进而可求得的值，由此可得出的周长.【详解】因为，由正弦定理可得，即，整理可得，因为、，所以，，则，故，由正弦定理可得，整理可得，因为，当时，取最大值，且的最大值为，此时，，，所以，，因此，当边取得最大值时，的周长为.故答案为：.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：性别成绩男生女生合计80分以上80分以下合计202040(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.(2)从成绩在的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩在的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【详解】（1）性别成绩男生女生合计80分以上691580分以下141125合计202040 2分. 2分∴没有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关. 6分（2）按分层抽样成绩在的抽2人，成绩在的抽4人. 7分记成绩在的2人为A，B，成绩在的4人为C，D，E，F，则从这6人随机抽取3人的所有情况为：ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF，共20种情况， 9分其中恰有1人成绩在有ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF，12种情况， 10分所以所求概率为. 12分18．（12分）已知数列的前n项和为，且，．(1)求的值；(2)若，求数列的通项公式．【详解】（1）因为，所以．两式相减，得． 2分所以 4分； 5分（2）由（1）知①，可得②，． 6分因为，，所以，又，所以又由①②得． 8分所以，即，n为偶数， 9分则当，且为奇数时，， 10分又符合上时， 11分综合得． 12分19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，所以， 1分而，所以，所以四边形为平行四边形， 3分所以，由于平面，平面，所以平面. 5分（2）连接， 6分由于平面，所以直线与平面所成角为，由于平面，所以， 7分由于，所以，所以.由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，，，对于三角形，，所以为钝角，所以，所以， 10分，设到平面的距离为，由得，所以到平面的距离为. 12分20．（12分）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若，判断的零点个数．参考数据：，．【详解】（1）当时，，则， 1分易知单调递增，且， 2分所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以． 4分（2）由题，，又，所以单调递增， 5分因为，所以存在唯一的，使， 7分且当时，单调递减，当时，单调递增．又，所以在内有1个零点． 9分令，则，令，则．所以单调递增，，所以单调递增，，即，故在内有1个零点． 11分综上，当时，的零点个数为2． 12分21．（12分）设分别为椭圆:的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；（ii）求点到直线的距离的最大值.【详解】（1）由题意得 3分整理得解得 4分所以椭圆得方程为. 5分（2）（i）设,根据题意有.因为原点是的重心，所以，即，. 6分将，代入解得，所以.所以到直线的距离为. 7分（ii）由（i）知当直线斜率不存在时到直线的距离为.当斜率存在时，设所在直线方程为，.由得，且，即.所以. 9分因为原点是的重心，所以所以，所以. 10分将点代入椭圆方程得并整理可得所以点到直线的距离为. 11分综上所述，当与轴垂直时点到直线的距离最大为 12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲