数学（新高考Ⅰ卷01）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考I卷）·参考答案第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DACBADDA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112BCDABDACDAC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）【答案】(1)；(2).【详解】（1）由已知及正弦定理得，…………………………1分则，………………………3分在中，故，……………………………………………4分又，故.……………………………………………………………………………5分（2）由，得，……………………………………………6分由题意，则，……………………7分即，解得，……………………………………………9分故的面积为.……………………………………………10分  18.（12分）【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）令，得，则．……………………………………………1分因为①，所以②．……………………………………2分①-②得，即．…………………………4分因为，所以数列为常数列．……………………………………………5分（2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列，所以．……………………………………………………………………………………………7分因为，………………………………………………………………………8分所以③，④．………………………………………………………………………9分③-④得，…………………………………………………………………11分所以．…………………………………………………………………12分19．（12分）【答案】(1)(2)应选择先回答甲类问题【详解】（1）设“张某选择甲类问题”，“张某答对所选问题”，“张某至少答对一道问题”，“张某选择乙类问题”，“张某未答对所选问题”“张某一道问题都没答对”由题意得，，……………………………………………………………1分，，，，…………………………3分由全概率公式，得…………………………4分∴.……………………………………………………………5分（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，则张某的累计得分X的可能值为0，30，80，∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，∴；；，……………………………………………7分则的分布列为030800.10.270.63当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：，……………………………………………8分若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分的可能值为，同理可求；；，……………………………………………………………………10分则此时累计得分的期望为，……………………11分因为.所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题．……………………12分20．（12分）【答案】(1)，准线方程为(2)证明见解析【详解】（1）因为点在上，所以，解得，…………………………………………………………2分所以的方程为，…………………………………………………………3分准线方程为.…………………………………………………………………………4分（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，………………………5分联立，得，…………………………………7分设点，则.…………………………………8分直线的方程为，令，得，所以，…………………………………9分同理得，…………………………………10分设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，因为，则，即，…………………………………11分所以，解得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.…………………………………12分21．（12分）【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【详解】（Ⅰ）连接，则，因为，所以四边形为平行四边形；所以，因为且为的中点，所以，………2分所以，所以，即，………3分又因为，所以平面；………………………………………4分（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,所以,………………………………………5分设平面的法向量为，则，即，取，………………………………………………………………………………………6分设平面的法向量为，则，即，取，………………………………………………………………………………………7分所以，…………………8分所以二面角的正弦值为；…………………9分（Ⅲ）设，则，而，所以，由（Ⅱ）知平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则，…………………11分化简得，解得：或，故线段的长度为或.…………………12分22．（12分）【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）解：因为函数，可得，…………………1分则，……………………………………………………………………………2分所以曲线在处切线的斜率为.…………………………………………………3分（2）解：设函数，可得，………………………………………4分当时，，则在上单调递增，………………………………………5分所以，从而，所以.…………………………………6分（3）证明：设函数，当时，，，则恒成立，则由，得，……………………………………………………………7分又，所以，……………………………………………8分因为，可得，令，可得，所以单调递增，即在单调递增，所以，所以在上单调递增，又由，所以，………………………………………………9分同理得，要证，只需证，即证，因为，所以，……………………………………………………………10分设函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，……………………………11分所以，从而得证.……………………………12分