数学（七省新高考02）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试（七省新高考02）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】∵，∴，则，∴.故选：B2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算从而求解.【详解】由题意知：，则，所以：.故A项正确.故选：A.3．过抛物线的焦点的直线的倾斜角为，则抛物线顶点到该直线的距离为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由题意首先求得焦点坐标，然后确定直线方程，最后由点到直线距离公式可得距离.【详解】抛物线的标准方程是，其顶点是，焦点是，由直线的倾斜角得其斜率是，所以直线的方程是，则抛物线的顶点到直线的距离为.故选：.4．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)（σ>0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A．150 B．200C．300 D．400【答案】C【分析】由已知求出进一步求出则可求出答案.【详解】此次数学考试成绩在分到分之间得人数约为.故选:C.5．光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m，下底面正方形的边长约为34.5m，高的4倍比上底面的边长长4m，则光岳楼墩台的体积约为（    ）      A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得光岳楼墩台的高，结合台体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，设光岳楼墩台的高为h，则，所以光岳楼墩台的体积约为.故选：B.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务B必须排在前三位，且任务A、D必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有(    )A．240种 B．188种 C．156种 D．120种【答案】D【分析】分任务B排在首位、第2位、第3位三种情况讨论即可．【详解】若任务B排在首位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的3个任务全排列即可，此时共有种方案；若任务B排在第2位，则第1位可排除A、D外的3项任务中的任意一项，有3种排法；将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体和剩下的2个任务全排列即可，此时共有种方案；若任务B排在第3位，则将A、D捆绑在一起，A、D之间有2种排法，再将A、D看作一个整体有3个位置可排，再将剩下的3个任务全排列安排在剩下的3个位置即可，此时共有种方案；故总共有48+36+36=120种方案．故选：D．7．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到，，，得到答案.【详解】；；；故.故选：C.8．已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，所以，则的图象关于对称，且，当时，，又因为函数，所以的图象关于对称，所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，和的图象，如图所示：  由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，所以5个交点的横坐标之和为，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位：)的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差【答案】AD【分析】根据折线图，由众数，中位数，平均数，方差等概念及公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；中位数即是处在中间位置的数字，将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B错；由折线图可得，平均数为：，故C错；前4天的平均数为：，后4天的平均数为前4天方差为：，后4天方差为：，所以后4天的方差小于前4天的方差，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查由折线图计算众数、中位数、平均数、方差等，属于基础题型.10．已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为A． B． C． D．【答案】ACD【解析】根据题意，圆与圆相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆与圆相交，所以，，即，解得，即的值可以为：或或.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.11．已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对于A，根据等比数列求和公式求出，可得A不正确；对于B，根据等差数列的通项公式可得B正确；对于C，计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确；对于D，推出数列为周期函数，可得D不正确.【详解】对于A，由，，可得，，当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故A不正确；对于B，由，得，又，所以，当时，，当时，，当时，，所以当或时，取得最大值，故B正确；对于C，由，，得，，，，又，递减，所以当时，取最大值，故C正确；对于D，由，，得，，，，所以数列的周期为，故不存在最大值，故D不正确.故选：BC12．正方体中，M是正方形的中心，P为线段上一动点，下列结论中正确的是（）A．；B．直线与直线所成角的余弦值为；C．不存在点P使得平面；D．三棱锥的体积为定值．【答案】ABD【分析】A选项，由三线合一证明出线线垂直；B选项，作出辅助线，找到异面直线的夹角，利用余弦定理求出答案；C选项，找到点P的位置，使得平面，C不正确；D选项，利用等体积法得到，由面积和为定值得到体积为定值.【详解】设正方体的边长为.A选项，在三角形中，，是的中点，所以，所以A正确.B选项，设是的中点，连接，则，  所以是异面直线与直线所成角（或其补角），在三角形中，，所以，所以异面直线与直线所成角的余弦值为，B正确.C选项，根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面.即存在点P使得平面，C不正确.D选项，，其中和为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若，，且，则与的夹角为；【答案】【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，.又，所以.故答案为：.14．双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为．【答案】.【分析】由直线平行则斜率相等，求得之间的等量关系，再求离心率即可.【详解】因为渐近线与直线平行，故可得，根据双曲线离心率的计算公式可得：.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.15．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：16．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则.【答案】【分析】根据导数几何意义可分别用表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可.【详解】，，切线斜率，切线方程可记为：或，，，则，易得，，.故答案为：.三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换对原式化简，结合三角形的内角和为，即可求解；（2）根据面积公式求得，再利用余弦定理以及基本不等式可得出的取值范围，即可得解.【详解】（1）由题意知，原式可化为，即.整理可得：，即.又因为，则，所以，故.（2）因为，所以，由余弦定理和基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，所以，故的最小值为.18．已知等比数列，等差数列的公差，且，，，．(1)求数列与的通项公式；(2)设数列对任意，均有成立，求的通项公式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知列出关系式，求解得出，进而得出的通项公式.然后求出的项，进而得出，即可得出的通项公式；（2）根据前n项和公式以及通项之间的关系，即可得出，从而得出，得出的表达式，然后求出的值，检验即可得出答案.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意，，，，所以，即，解得，或（舍去），所以.所以，，所以，，所以．（2）由题意，，①，②②①得，所以，所以.当时，由可得不满足上式.所以．19．如图，已知四边形与均为直角梯形，平面平面EFAD，，，为的中点，.  (1)证明：，，，四点共面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，,根据中位线结合已知得出四边形与四边形是平行四边形，即可得出，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，得出相应各点坐标，得出相应向量，即可根据平面法向量求法得出平面与平面的法向量，即可根据二面角的向量求法得出答案.【详解】（1）取的中点，连接，.因为为的中点，为的中点，且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以且.又因为，且，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，.所以，，所以，，，四点共面.（2）因为平面平面，平面平面，且，所以平面.如图，以B为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的一个法向量为，因为，，所以，令，得，所以.设平面的一个法向量为，因为，，所以，令，得，，所以.设平面与平面夹角为，所以.20．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.  (1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，参考数据（）5215177137142781.33.6(3)根