2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考Ⅱ卷）·参考答案第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678ACBCDCDD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112BCDABACABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．5614．2315．②④16．2,22四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）【答案】【答案】(1)an=-3×2n(2)-36672【详解】（1）因为Sn+1+Sn+a2=3an+1，则当n≥2时，Sn+Sn-1+a2=3an，两式相减可得an+1+an=3an+1-3ann≥2，则an+1=2ann≥2，…………………………3分且当n=1时，S2+S1+a2a2=3，解得a2=2a1，所以an是首项为-6，公比为2的等比数列，………………………………………………………5分所以an=-6×2n-1=-3×2n，即an=-3×2n；………………………………………………………………………………………5分（2）因为b3n+b3n-1+b3n-2=an+3n-2=-3×2n+3n-2，…………………………7分则T35=b1+b2+b3+b4+b5+b6+⋯+b34+b35+b36-b36=-3×21+22+⋯+212+1×12+12×112×3-2×12-a12=-3×21-2121-2+210-24+3×212=-36672.………………………………………………10分18.（12分）【答案】(1)C=π6(2)1【详解】（1）由题意知，原式可化为2cosA-B=4sinAsinB-3，即2cosAcosB+sinAsinB=4sinAsinB-3.…………………………………………2分整理可得：2cosA+B=-3，即cosA+B=-32.………………………………4分又因为A+B+C=π，则00，解得023，或t<-23.……………………………………………………6分当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+3,Ax1,y1,Bx2,y2，.由x212+y23=1,x=my+3消去x并整理，得4+m2y2+6my-3=0，则y1+y2=-6m4+m2,y1y2=-34+m2.…………………………………………………………………8分因为∠OPA=∠OPB，所以kPA+kPB=0，所以y1x1-t+y2x2-t=0，即y1x2-t+y2x1-t=0.所以y1my2+3-t+y2my1+3-t=0，即2my1y2+3y1+y2-ty1+y2=0，-6m4+m2-18m4+m2+6mt4+m2=6m(t-4)4+m2=0恒成立，…………………………………………………10分即对∀m∈R，6m(t-4)4+m2=0恒成立，则t=4，即P(4,0).又点P(4,0)满足条件t>23.综上所述，故存在定点P(4,0)，使∠OPA=∠OPB.…………………………………………………12分 22．（12分）【答案】(1)a=-2(2)证明见解析【详解】（1）解：因为fx=exx，则f'x=exx-1x2，直线l1的斜率k1=f'1=0，…1分因为gx=asinx，则g'x=acosx，直线l2的斜率k2=f'0=a，直线l2的方程为y=ax，又两直线l1、l2夹角的正切值为2，故a=±2，……………………………………………3分令φx=asinx-ax=asinx-x，则φ'x=acosx-1，当a=2时，φ'x≤0恒成立，当且仅当x=2kπk∈N*时，等号成立，此时，函数y=φx在0,+∞上单调递减，故φx<φ0=0，不满足题意；当a=-2时，φ'x≥0恒成立，当且仅当x=2kπk∈N*时，等号成立，此时，函数y=φx在0,+∞上单调递增，故φx>φ0=0，满足题意.综上所述，a=-2.………………………………………………………………………………5分（2）证明：由（1）知a=-2，故Fx=exx-2sinx，x∈-π,0.F'x=x-1ex-2x2cosxx2，…………………………………………………………………………6分当x∈-π2,0时，x-1ex<0，x2cosx≥0，F'x<0，故Fx在-π2,0上单调递减，………………………………………………………………7分当x∈-π,-π2时，令hx=x-1ex-2x2cosx，x∈-π,-π2，h'x=xex-4xcosx+2x2sinx=xex-4cosx+2xsinx，ex>0，cosx<0，xsinx>0，则h'x<0，故hx在-π,-π2上单调递减，…………8分因为h-π=2π2-π+1eπ>0，h-π2=-π2-1e-π2<0，则h-πh-π2<0，由零点存在性定理知：hx在-π,-π2上有唯一零点，…………………………………9分即F'x在-π,-π2上有唯一零点，该零点即为x0，当x∈-π,x0时，hx>0，即F'x>0，当x∈x0,-π2时，hx<0，即F'x<0，……………………………………………10分又x∈-π2,0时，F'x<0，故Fx在-π,x0单调递增，在x0,0单调递减，则当x∈-π,-π2时，Fx0>F-π2=2-2πeπ2=2πeπ2-1πeπ2>0，因为x0∈-π,-π2，则Fx0=ex0x0-2sinx0<-2sinx0<2，故x0是函数Fx在-π,0上的唯一的极大值点，且0