数学（新高考Ⅰ卷02）（参考答案）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考I卷）·参考答案第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678CCCBCAAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ABABCABDAC第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．16四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）【答案】(1)(2)（2）利用分组求和法计算可得.【详解】（1）因为，，数列为等比数列，所以，，则，……………………………………1分即是以为首项，为公比的等比数列，…………………………………2分所以，……………………………………………………………………3分则.……………………………………………………………5分（2）…………………………………………6分……………………………7分.……………………………10分18.（12分）【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得，……………1分可得，即，……………………………………………………2分又因为，由余弦定理得，即，………………3分联立方程组，可得，即，所以，………………4分由余弦定理定理得，………………………………5分因为，所以.………………………………………………………………6分解法二：因为，由正弦定理得，…………1分整理得，…………………2分又因为，可得，所以，…………3分即，可得，即，…………4分因为，所以，……………………………5分所以，所以.………………………………………………………6分（2）由（1）知，可得，且，所以，……………………………………………8分由三角形三边关系，可得，可得，……………………………………………9分令，可得，其中，……………………………………………10分所以函数，……………………………………………11分所以，所以的取值范围是.……………………………………………12分19．（12分）【答案】(1)见详解；(2)存在点使得与平面夹角的正弦值为，点到平面距离的最小值为【详解】（1）取中点，连接，则，所以四边形是菱形，是正三角形，所以，，因为，所以，所以，所以，………………………………………2分因为底面，平面，所以，……………………………………………………………3分又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，………………………………………4分所以平面平面………………………………………5分（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，………………………………………6分设，所以，，，…………………………7分设平面的一个法向量为，则，所以，取得：，………………………………………8分所以，，因为与平面夹角的正弦值为，所以，……………………9分即：，所以，所以………………………………………10分由点到平面的距离公式得：，………………………………………11分所以当时，点到平面距离的最小，最小值为………………12分20．（12分）【答案】(1)，上递减(2)【详解】（1）由已知得，………………………………………2分故函数在，上单调递减；………………………………………4分（2）由在上恒成立，即在上恒成立，…………………5分设，则，………………………………………7分令，得，令，得，……………………………8分即在上单调递减，在上单调递增，…………………………9分所以，………………………………………11分所以.……………………………………………………………………………12分21．（12分）【答案】(1)有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关(2)（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析【详解】（1）依题意，完善列联表如下，性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200………………………………………………………………1分所以.…………………………………2分故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.…………………………3分（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，………………………………………………………………4分…………………………………………………5分，……………………………………………………………6分所以的分布列为123所以.…………………………………………………7分（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，……………………………………………………………8分所以，…………………………………………………9分所以，显然，故；……………………………………………………………………10分另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有；………………………………11分所以.…………………………………………………………12分22．（12分）【答案】(1)(2)是，(3)．【详解】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，所以，，……………………………………………………1分  由椭圆定义知：动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆方程为，则，，，，……………2分所以曲线的方程为………………………………………………………………3分（2）设，，直线：；，到直线的距离，所以………………………………………5分另一方面，因为，是椭圆上的动点，所以可设，，，由，得，为定值.……………………………………………………………6分（3）设，，，代入：得，所以曲线的方程为.………………………7分由知，同理，，………………………8分设，  ①当直线有斜率时，设：，代入椭圆的方程得：，，，…………………………………………………………………9分将：代入椭圆的方程得：，与椭圆有公共点，由得：，令，则，．………………………………………………………………10分②当斜率不存在时，设：，代入椭圆的方程得：，，……………………………………………11分综合①②得面积的最大值为，所以面积的最大值为．…………………………………………………………………12分