2023-2024学年春学期期初学情调研试卷(1)

2023-2024学年春学期期初学情调研试卷高三数学命题人：复核人：注意事项：答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A. B. C. D.2．已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量p=a+b，q=a−b构成基底的向量是()A.a B．b C．a+2b D．a+2c3．若直线l1:ax+(1−a)y−3=0与直线l2:a−1x+2a+3y−2=0互相垂直，则a的值为()A．−3 B．−12 C．0或−32 D．1或−34．已知等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1=()A．30 B．29 C．28 D．275．如图，一个底面边长为23π3cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（       ）A．17πcm2 B．4πcm2 C．32πcm2 D．23πcm26．某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()A．18种 B．36种 C．60种 D．72种7．双曲线C:x29−y216=1的右支上一点P在第一象限，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若内切圆I的半径为1，则△PF1F2的面积等于(    )A. 323B.12 C. 24D.1638．已知函数f(x)=|x−1|,x<2,2(x−3)2−1,x≥2,若方程f(f(x))=12的实根个数为(    )A.4 B.8 C.10 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是()A．bsinB=a+b+csinA+sinB+sinCB．若A>B，则sin2A>sin2BC．a=bcosC+ccosBD．若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形10．设a为常数，，，则()A. B.恒成立C. D.满足条件的不止一个11．如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是()A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．不存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知α∈0,π,sinα−π6=13，则cos2α+π6的值为.13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．14.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|.已知M(4,6)，点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动，若点P满足d(M,P)=2，则|PN|的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．（15分）数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1−an(n∈N∗)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn=|a1|+|a2|+⋯+|an|，求Sn；(3)设bn=1n(12−an)(n∈N∗)，Tn=b1+b2+⋯+bn(n∈N∗)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N∗，均有Tn>m32成立若成立？求出m的值；若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC1=3，点D, E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1 CE=2, M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B−B1E−D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18．（17分）已知M，N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2−y2=1的公共左、右顶点，e1，e2分别为C1和C2的离心率．(1)若e1e2=154．(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x=1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)，求证：1y1+1y2=1y3+1y4;(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．19．（17分）已知Am=a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,m(m≥2)是m2个正整数组成的m行m列的数表，当1≤i