专题03 立体几何大题（原卷版）

专题03立体几何大题解题秘籍空间中的平行关系线线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行空间中的垂直关系线线垂直线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）直线与平面所成角，(为平面的法向量).二面角的平面角（，为平面，的法向量）.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.模拟训练一、解答题1．（22·23下·湖南·二模）如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点，．  (1)求的长度；(2)求平面与平面夹角的余弦值．2．（22·23下·绍兴·二模）如图，在多面体中，平面为正三角形，为等腰Rt.(1)求证：；(2)若平面，求直线与平面所成的线面角的正弦值.3．（22·23·张家口·三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.  (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.4．（22·23·湛江·二模）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．  (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．5．（22·23下·长沙·三模）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，，点在上.  (1)若平面，求；(2)若是的中点，求二面角的正弦值.6．（22·23下·湖北·二模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.7．（22·23·深圳·二模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.  (1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.8．（22·23下·温州·二模）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值．9．（22·23下·浙江·二模）如图，四面体，为上的点，且与平面所成角为，(1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值.10．（22·23下·襄阳·三模）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.11．（22·23·唐山·二模）如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．  (1)证明：．(2)求二面角的正弦值．12．（22·23下·盐城·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.  (1)证明：平面平面；(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.13．（22·23下·江苏·三模）如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.  (1)当时，证明：平面；(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.14．（22·23下·镇江·三模）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③  (1)平面平面；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离.15．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.  (1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.16．（22·23下·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．  (1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表面积为．以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求点的坐标．17．（22·23·汕头·三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.  (1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.18．（19·20下·临沂·二模）如图①，在中，B为直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将折起，使，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．  (1)求证：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．19．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.  (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.20．（22·23下·长沙·一模）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．(1)在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点到平面的距离．21．（22·23下·长沙·三模）如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面.(1)求三棱锥的体积；(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.22．（22·23·衡水·一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.23．（22·23下·湖北·三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．24．（22·23下·武汉·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.  (1)求证：平面平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.25．（22·23下·黄冈·三模）如图1，在四边形中，，．将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体．  (1)若为的中点，证明：平面；(2)若为上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．26．（22·23·德州·三模）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．  (1)求证：平面平面；(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．27．（22·23·山东·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，．  (1)证明：；(2)若为线段的靠近点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出到交点的距离，如果不相交，说明理由．28．（22·23·黄山·三模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．    (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．29．（22·23·菏泽·三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．  (1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．30．（22·23·福州·三模）如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.  (1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.31．（22·23·福州·二模）如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.  (1)当时，证明：平面平面；(2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.32．（22·23·三明·三模）如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.  (1)当时，证明并求四棱锥的体积；(2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值.33．（22·23·宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．(1)若为的中点，求四棱锥的体积；(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．34．（22·23·龙岩·二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．  (1)求侧棱的长；(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．35．（22·23下·浙江·二模）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．(1)若点是的重心，证明；点在平面内；(2)求二面角的正弦值．36．（22·23下·浙江·三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.37．（22·23下·苏州·三模）如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.  (1)求二面角的余弦值；(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.38．（22·23·沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.  (1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.39．（23·24上·永州·一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．  (1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．40．（22·23·潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．  (1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．