专题12 排列组合与二项式定理小题综合（解析版）

专题12排列组合与二项式定理小题综合解题秘籍1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．使用分类加法计数原理时两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定． 应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列应用问题方法汇总直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq\o\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法种eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).间接法正难则反、等价转化的方法分组分配平均分组、部分平均分组1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．隔板法将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子环排问题(1)把个不同的元素围成一个环状，排法总数为(2)个不同的元素围成一圈，个元素相邻，符合条件的排列数为(3)个不同的元素围成一圈，个元素不相邻，符合条件的排列数为涂色问题涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。模拟训练一、单选题1．（22·23下·武汉·三模）把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（    ）．A．6 B．10 C．14 D．20【答案】C【分析】根据题意，分最大数5在第二、三、四个位置三种情况讨论即可【详解】把1，2，3，4，5这5个数排成一列，满足先增后减的数列有：①最大数5在第二个位置的所有情况：②最大数5在第三个位置的所有情况：③最大数5在第四个位置的所有情况：共有14个.故选：C.2．（22·23·菏泽·三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（    ）A．36种 B．42种 C．48种 D．60种【答案】A【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.【详解】将车与车捆在一起当一个元素使用，有种捆法，将除车外的个元素全排，有种排法，将车插入，不与车相邻，又种插法，故共有种排法.故选：A3．（22·23·济宁·二模）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（    ）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】B【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.【详解】当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有种；当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有.故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为种.故选：B4．（22·23下·河北·一模）为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（    ）A．144种 B．162种 C．216种 D．288种【答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有种分法，分给3名同学中的2名同学，有种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有种分法，共有种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有种.故选：A.5．（22·23·衡水·三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（    ）A．76种 B．82种 C．86种 D．90种【答案】D【分析】应用分步计数原理先分组再讨论相同预约计算即可.【详解】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，首先将4人分成2组，有种不同的分法，下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种．故选：D.6．（22·23下·益阳·三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（    ）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1200种【答案】C【分析】根据题意，利用间接法，即可求解.【详解】依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方法共有（种），其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班的方法共有（种）；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在5月7日值班的方法共有(种)；满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有(种).因此满足题意的方法共有(种).故选：C.7．（22·23·福州·三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（    ）A．22种 B．20种 C．12种 D．10种【答案】A【分析】分为郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个和两个，两种情况分开求解即可得出答案.【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种，故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案.故选：A.8．（22·23下·辽宁·二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）．A．14种 B．16种 C．18种 D．20种【答案】C【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能；根据分类加法计数原理，共有种可能.故选：C.9．（22·23下·湖北·二模）用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（    ）A．38个 B．40个 C．42个 D．44个【答案】A【分析】四位数能被15整除即能被5整除，且能被3整除.能被5整除则个位为0或者5，能被3整除则所有位数之和为3的倍数.又千位不能为0，通过限制条件分析即可.【详解】由题意，四位数能被15整除即四位数的个位为0或者5，且所有位数之和为3的倍数.个位为0时，其他三位可以为1、2、3或1、3、5或2、3、4或3、4、5，故有个；个位为5时且其它3位没有0时，可以为1、2、4，有个；个位为5时其它3位有0时，0只能做十位或百位，其他两位为1、3或3、4，共有个；故共有个故选：A.10．（22·23·唐山·二模）已知展开式中的系数为48，则实数（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：的展开式中，的系数为，解得．故选：A11．（22·23·合肥·三模）若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（    ）组不同的解A．1 B．