专题24 新高考数学模拟卷（一）（解析版）

专题24新高考数学模拟卷（一）（模拟测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集与补集的概念求解即可．【详解】因为集合，，，.故选：A．2．已知，则的值为A． B． C． D．【答案】C【详解】.所以，故选C.3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（    ）A．1640 B．1560 C．820 D．780【答案】C【分析】首先由二阶等差数列的定义，得到，再求和得到数列的通项公式，即可求.【详解】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以．故，故．故选：C．4．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用诱导公式得，再令，展开即可求解．【详解】，因为，所以，则在第二或第三象限，因为，当在第三象限时，由于，又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：A．5．已知函数有且仅有3个零点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时，解出一根，由得，当时，还有两根，则此时方程为二次方程，根据题意建立不等式解出的取值范围，再根据其他条件即可得结论.【详解】当时，令，解得，即；当时，方程有两个不等负实根，，所以，解得，当时，，又，则．所以．故选：C.6．若的展开式中项的次数为整数的有且仅有5项，则其常数项为（    ）A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项【答案】B【分析】求出展开式的通项公式，根据题意得到，进而求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，因为，所以当r=0，2，4，6，8，10，…时，展开式中项的次数为整数，又展开式中项的次数为整数的有且仅有5项，所以或，当时，令，无整数解，舍去；所以，故，令，解得，所以其常数项为第7项．故选：B．7．已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（    ）A．11 B．9 C．0 D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，然后构造函数并求其对称轴及周期，最后利用对称轴及周期求函数值即可.【详解】因为对任意的，即，所以为奇函数，故．由得，，即，设，则为奇函数，，且，所以图像关于直线对称，由得，，所以，所以所以的周期为4．所以，所以，由求导可得，所以关于对称，所以由对称性可知图像关于直线对称，因为，所以，所以，所以所以的周期为4，所以，又，所以，所以．故选：A.8．等腰三角形中，，．为中点，为线段上靠近点的四等分点，将沿翻折，使到的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求出，再根据给定条件确定球心位置，求出球半径作答.【详解】等腰中，，，为中点，则，有，又，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得外接圆半径，在四面体中，，平面平面，平面平面，平面，则平面，令外接圆圆心为，四面体外接球球心为，则平面，有，显然四面体外接球球心在线段的中垂面上，取中点，连接，则有，而平面，即有，  因此四边形为矩形，，而，于是四面体外接球半径，所以四面体的外接球的表面积.故选：D【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）9．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）  A．的图象关于直线对称B．的图象关于点中心对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】AD【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，结合图象及三角函数的性质可得结论．【详解】由函数的图象可得，由，求得.再根据五点法作图可得，即，又，求得，∴函数，，是最值，故A成立；，不等于零，故B不成立；将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；当时，，，，函数在上的图象如下，  由图可知，时，函数与直线有两个交点，故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.故选：AD.10．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．在处的切线方程为B．在区间单调递减，在区间单调递增C．设，若对任意，都存在，使成立，则D．【答案】ACD【分析】求导得到函数的单调区间，计算切线得到A正确，根据定义域排除B，分别计算最值得到C正确，根据幂函数单调性和单调性计算得到D正确，得到答案.【详解】，则，，当和时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.对选项A：，，故切线方程为，正确；对选项B：函数定义域为，错误；对选项C：当时，，，故，正确；对选项D：根据幂函数的单调性知，，，即，故，即，故，正确.故选：ACD11．如图，直角梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.则下列说法正确的有（    ）  A．平面B．四棱锥外接球的体积为C．二面角的大小为D．与平面所成角的正切值为【答案】ABC【分析】易证得四边形为矩形，得到；利用勾股定理可得；由线面垂直的判定可证得A正确；根据平面和矩形外接圆半径可求得外接球半径，代入球的体积公式可知B正确；根据二面角平面角定义可知即为所求角，根据长度关系知C正确；根据线面角定义可知为所求角，由长度关系可知D错误.【详解】对于A，为中点，，，四边形为平行四边形，又，四边形为矩形，；，，，，，又，平面，平面，A正确；对于B，，，，即，平面，平面，，又，平面，平面；矩形的外接圆半径，四棱锥的外接球半径，四棱锥外接球的体积，B正确；对于C，平面，平面，；又，二面角的平面角为，，，，二面角的大小为，C正确；对于D，平面，即为直线与平面所成角，，，，，即直线直线与平面所成角的正切值为，D错误.故选：ABC.12．已知直线与圆O：交于点M，N，若过点M和的直线与y轴交于点C，过点M和的直线与x轴交于点D，则（    ）A．面积的最大值为2 B．的最小值为4C． D．若，则【答案】ACD【分析】利用面积公式可判断A；设，数量积的坐标表示结合重要不等式可判断B；利用M的坐标表示出直线坐标，从而可得C、D坐标，然后直接求解可判断C；利用韦达定理可判断D.【详解】A项：因为直线与圆O交于点M，N，所以，所以，当，即，时，面积的最大值为2，A正确；B项：设，则，，所以，因为，所以．所以，即，所以当时，取得最小值，B错误；C项：当直线MB斜率存在时，则直线．令，可得，故．直线，令，可得，所以．故；当直线斜率不存在时，，，则，综上所述，为定值，C正确；D项：当时，，设，联立消去y可得，则，，则，D正确．故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为.【答案】0.07/【分析】利用条件概率即可求得从这20块芯片中任取1块芯片取得的芯片是次品的概率.【详解】记“20块芯片中任取1块芯片，取得的芯片是次品”为事件B，分别记从这20块芯片中任取1块芯片，则该芯片为甲、乙、丙生产为事件则，则故答案为：0.0714．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形.若，则.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，，，则，，即又，即，即，化简得故答案为：15．已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，则的面积.【答案】【分析】求出直线的方程，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面积即可.【详解】点的坐标为，则，又，且直线过点，则直线的方程为，整理得，设点的坐标为，点的坐标为，由，得，即，直线的方程为，，①，联立与，消去得，则②，把②代入①，解得，故，又直线与轴的交点为，所以.故答案为：.16．已知函数，且，则的最小值是.【答案】2【分析】利用，单调性与对称性，可知，若有，则必有成立.再利用基本不等式求的最小值即可.【详解】∵在为单调递增的奇函数，∴有且仅有一个对称中心，∴单调递增，有且仅有一个对称中心，又∵，∴，则，∴，当且仅当即时，等号成立，∴的最小值是.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．记的内角的对边分别为，已知.(1)求A的值；(2)若的平分线与交于点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得，结合，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，则，，即，可得，因为，则，则，整理得，又因为，则，可得，所以.（2）因为平分且，所以，由，可得，整理得，则，当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为．18．已知数列的前n项和为，且，数列为等比数列，且，分别为数列的第二项和第三项.(1)求数列，的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据和的关系求出的通项公式，由中的项和等比数列通项公式的关系求出的通项公式；（2）利用裂项求和进行求解.【详解】（1）因为数列的前项和为，且，当时，,当时，,也满足上式，所以,在数列中，,则公比，,所求通项公式为，.（2）由(1)得而  因为，故19．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．(1)当时，求三棱柱的体积；(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)3(2)【分析】（1）取的中点为O，根据等边三角形可知，，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式求出即可；（2）根据及余弦定理解出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围.【详解】（1）解：如图，取的中点为O，因为为菱形，且，所以为正三角形，又有为正三角形且边长为2，则，，且，，所以，所以，因为又，平面，平面，所以平面，所以三棱柱的体积．（2）在中，，，由余弦定理可得，所以，由（1），，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，