信息必刷卷02（新高考新题型专用）（参考答案）

2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型专用）02数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DBADABCC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【解析】（1）当时，，……………………1分求导得，…………………………………2分则，………………………………………………3分而，………………………………………………4分于是，即，所以的图象在点处的切线方程是.……………5分（2）函数定义域为，求导得，…………6分由，得，…………7分令，…………8分求导得，…………9分令函数，显然函数在上单调递增，而，则当时，，，当时，，，函数在上递减，在上递增，，…………11分因此，解得，所以实数的取值范围是.…………13分16．（15分）【解析】（1）∵抛物线的焦点为，…………………………………1分∴椭圆的半焦距为，…………………………………2分又，得，.…………………………………4分∴椭圆的方程为…………………………………5分证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，…………………………………6分联立，得.…………………………………8分，即，…………………………………9分设，，则，，…………………………………11分∴，…………………………………12分∴.…………………………………14分∴为定值…………………………………15分  17．（15分）【解析】（1）延长交于一点P，连接BD交AC于O；…………………………………1分  由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥为正四棱锥，……………………2分即，又点O分别为的中点，故，而，平面，故平面，……………………4分又平面，……………………5分故平面平面，即平面平面；……………………5分（2）由（1）知两两垂直，故分别以为轴建立空间直角坐标系，……………………6分  设棱台的高为h，则，又平面的法向量可取为，而，……………………8分由题意知直线与平面所成角的正切值为，则其正弦值为，则，解得，……………………10分所以，……………………11分设平面的法向量为，则，令，则，……………………13分故，而二面角范围为，……………………14分故二面角的正弦值为.……………………15分（17分）【解析】（1）依据表中数据，，…………2分依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．……………………3分（2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，则两两独立，．根据题意得，．……………………5分（ⅰ）由，结合全概率公式，得，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．……………………8分（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，则，……………………9分由全概率公式，得故①同理②③④由①②，，由④，，……………………12分代入②，得：，即，故是首项为，公比为的等比数列，……………………13分即，所以……………………14分于是，当时……………………16分综上所述：……………………17分19．（17分）【解析】（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；……………………2分因为，则，又，，故不具有性质.……………………4分（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；……………………5分若，不妨设，由，得（*），只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即，……………………7分因为，所以，所以，则，此时，……………………8分则，而，即有成立，所以存在，使函数具有性质.……………………9分（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，……………………10分由可知函数是以为周期的周期函数，则，即，所以，；……………………11分由，以及题设可知，函数在的值域为，所以且；当，及时，均有，这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；……………………13分当时，，函数在的值域为，此时函数的值域为，……………………14分而，于是函数在的值域为，此时函数的值域为，……………………15分函数在当时和时的取值范围不同，与函数是以为周期的周期函数矛盾，……………………16分故，即，命题得证.……………………17分