“8+3+3”小题强化训练(10)(新高考九省联考题型)(解析版)

2024-03-11 · 9页 · 1007.8 K

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(10)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛,每人投10个,投中的个数分别为8,5,7,5,8,6,8,则这组数据的众数和中位数分别为().A5,7 B.6,7 C.8,5 D.8,7【答案】D【解析】数据由小到大排列为5,5,6,7,8,8,8,因此,这组数据的众数为8,中位数为7.故选:D.2.圆心在轴上,半径为1,且过点的圆的方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】因为圆心在轴上,所以可设所求圆的圆心坐标为,则圆的方程为,又点在圆上,所以,解得,所以所求圆的方程为.故选:A3.记为等差数列的前项和,若,则()A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差数列,∴,,所以,∴公差,∴,∴,故选:D.4.如图,将正四棱台切割成九个部分,其中一个部分为长方体,四个部分为直三棱柱,四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为,每个四棱锥的体积为,则该正四棱台的体积为()A.B.C. D.【答案】C【解析】设每个直三棱柱高为,每个四棱锥的底面都是正方形,设每个四棱锥的底面边长为,设正四棱台的高为,因为每个直三棱柱的体积为,每个四棱锥的体积为,则,可得,可得,所以,该正四棱台的体积为.故选:C.5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图,,为椭圆:的左、右焦点,中心为原点,椭圆的面积为,直线上一点满足是等腰三角形,且,则的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知,,即,是以为顶角的等腰三角形,则有:,,,所以,又因为,即,,可得:,解得,故离心率为.故选:B.6.如图,在边长为2的菱形中,,点E,F分别在边,上,且,若,则()A. B. C.1 D.【答案】C【解析】设,可得,有,,故,又由,有,解得,(舍),故为边,的中点,所以为等边三角形,故.故选:C.7.如图,在正方体中,,是正方形内部(含边界)的一个动点,若,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】若,则为中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,三棱锥外接球的球心到平面的距离为,则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,A选项正确;故选:A8.方程所有正根的和为()A. B. C. D.【答案】C【解析】,令,则,即,所以或,当时,即,所以,因为,所以,当时,即,则,因为是奇数,所以也是奇数,不成立;所以方程所有正根的和为:,故选:C二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.函数的图象如图所示,将其向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是()A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】函数,当,此时,,因为,所以,所以,故A正确;,所以关于点对称,故B正确;函数图象向左平移个单位长度后得到,,当时,,所以函数的图象不关于直线对称,故C错误;,当时,,所以函数在上单调递减,故D正确.故选:ABD10.已知复数满足,则()A.的实部为B.的虚部为C.满足:的复数对应的点所在区域的面积为D.对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为【答案】AC【解析】由,则,所以的实部为,虚部为,故A正确,B错误;因为,则,设,则,即,所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心,1为半径的圆内的区域(包括圆),则所在区域的面积为,故C正确;如图,对应的向量为,则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为,故D错误.故选:AC.11.在平面直角坐标系中,圆,点为直线上的动点,则()A.圆上有且仅有两个点到直线的距离为B.已知点,圆上的动点,则的最小值为C.过点作圆的一条切线,切点为可以为D.过点作圆的两条切线,切点为,则直线恒过定点【答案】ABD【解析】选项A,由题意知,圆心到直线的距离为,圆的半径为,由,如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交,有两个公共点,另一条直线与圆相离,即圆上有且仅有两个点到直线的距离为,故A正确;选项B,设点关于直线的对称点,则,解得,即,则,即的最小值为,故B正确;选项C,由切点为,则在中,,当最小时,取最大值,最大,过点作,垂足为,此时最小,最小值为,即最大值为,最大为,不可能为,故C错误;选项D,设点,切点,可得切线方程为,由点在切线上,得,同理可得,故点都在直线上,即直线的方程为,又由点在直线上,则,代入直线方程整理得,由解得,即直线恒过定点,故D正确.故选:ABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.的展开式中的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】的通项公式为,令得,,此时,令得,,此时,故的系数为故答案为:13.如图,圆锥底面半径为,母线PA=2,点B为PA的中点,一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,其最短路线长度为________,其中下坡路段长为________.【答案】①.②.【解析】如图,将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形,易知该扇形半径为2,弧长为,故圆心角∠APB=,最短路线即为扇形中的直线段AB,由余弦定理易知AB==,cos∠PBA==;过P作AB的垂线,垂足为M,当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中,它与点P的距离越来越小,故AM为上坡路段,当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中,它与点P的距离越来越大,故MB为下坡路段,下坡路段长MB=PB・cos∠PBA=.故答案为:,.14.设严格递增的整数数列,,…,满足,.设为,,…,这19个数中被3整除的项的个数,则的最大值为________,使得取到最大值的数列的个数为________.【答案】①.18②.25270【解析】第一个空,设某个数除以余数为,则称该数模余(,均为整数,且),为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除,则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1,一个模3余2这样的组合,这样它们之和才会被3整除.而,均为模3余1,则不可能有19组上述组别,最多出现18组上述组别,例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40,满足题意,所以的最大值为18.第二个空,因为1-40这40个数中,共有27个数符合模3余1或模3余2,则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步,在到这20个数中删去一个数(后面再加回来),使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1,一个模3余2,这样就形成了18组,即使得的最大值为18.第二步,将这27个数从小到大排列,需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1,一个模3余2,因此,需要删去的8个数应该为4组相邻的数.第三步,利用捆绑思想,从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况:①两端均删去,这种情况不满足要求.因为若两端均删去,那么1和40必定被删去,在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个,而1和40必定在数列中,因此不满足.②两端均不删去,从中间21个数中选4个数删去,有种,再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中,由种,共有种.③两端中有一个被删去,其余3个数从中间21个数里选,有种,此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40,有1种选法,共种.第四步,删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来,即未被删去,被删去的是这一组中的另一个数,而对于删去的数,假设为,它旁边两个数分别为,即排列为,在第三步捆绑时,可能捆绑的组合为,然后删去,再补回;或者为,然后删去,再补回,这两种删去方式结果相同.综上,共有种.故答案为:18;25270

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