“8+3+3”小题强化训练（10）（新高考九省联考题型）（解析版）

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(10)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．A5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7【答案】D【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．2．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：A3．记为等差数列的前项和，若，则（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（）A.B.C. D.【答案】C【解析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，则，可得，可得，所以，该正四棱台的体积为.故选：C.5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，则有：，，，所以，又因为，即，，可得：，解得，故离心率为．故选：B．6．如图，在边长为2的菱形中，，点E，F分别在边，上，且，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】设，可得，有，，故，又由，有，解得，（舍），故为边，的中点，所以为等边三角形，故．故选：C．7．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，A选项正确；故选：A8．方程所有正根的和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，令，则，即，所以或，当时，即，所以，因为，所以，当时，即，则，因为是奇数，所以也是奇数，不成立；所以方程所有正根的和为：,故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】函数，当，此时，，因为，所以，所以，故A正确；，所以关于点对称，故B正确；函数图象向左平移个单位长度后得到，，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；，当时，，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD10．已知复数满足，则（）A.的实部为B.的虚部为C.满足：的复数对应的点所在区域的面积为D.对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为【答案】AC【解析】由，则，所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；因为，则，设，则，即，所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），则所在区域的面积为，故C正确；如图，对应的向量为，则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为，故D错误.故选：AC.11．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（）A.圆上有且仅有两个点到直线的距离为B.已知点，圆上的动点，则的最小值为C.过点作圆的一条切线，切点为可以为D.过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点【答案】ABD【解析】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；选项B，设点关于直线的对称点，则，解得，即，则，即的最小值为，故B正确；选项C，由切点为，则在中，，当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，此时最小，最小值为，即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；选项D，设点，切点，可得切线方程为，由点在切线上，得，同理可得，故点都在直线上，即直线的方程为，又由点在直线上，则，代入直线方程整理得，由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】【解析】的通项公式为，令得，，此时，令得，，此时，故的系数为故答案为：13.如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．【答案】①.②.【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知AB＝＝，cos∠PBA＝＝；过P作AB的垂线，垂足为M，当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝．故答案为：，.14.设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为________，使得取到最大值的数列的个数为________.【答案】①.18②.25270【解析】第一个空，设某个数除以余数为，则称该数模余(，均为整数，且)，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以的最大值为18.第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得的最大值为18.第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种.③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种.第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为，它旁边两个数分别为，即排列为，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为，然后删去，再补回；或者为，然后删去，再补回，这两种删去方式结果相同.综上，共有种.故答案为：18；25270