专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题(原卷版)

专题16 导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．六大经典超越函数的图象函数f(x)＝xexf(x)＝eq\f(ex,x)f(x)＝eq\f(x,ex)图象函数f(x)＝xlnxf(x)＝eq\f(lnx,x)f(x)＝eq\f(x,lnx)图象考点一 x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f(x)＝eq\f(lnx,h(x))(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．【例题选讲】[例1] 设函数f(x)＝xlnx－eq\f(ax2,2)＋a－x(a∈R)．(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．分析 (1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．解析 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－ax－1＝lnx－ax，令f′(x)＝0，可得a＝eq\f(lnx,x)，令h(x)＝eq\f(lnx,x)(x＞0)，则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，令h′(x)＝0，得x＝e，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e)，当x→0时，h(x)→－∞，当x→＋∞时，h(x)→0，故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))．(2)当a＝2时，f(x)＝xlnx－x2＋2－x，k(x－2)＋g(x)＜f(x)，即k(x－2)＋2－2x－x2＜xlnx－x2＋2－x，整理得k(x－2)＜xlnx＋x，因为x＞2，所以k＜eq\f(xlnx＋x,x－2)．设F(x)＝eq\f(xlnx＋x,x－2)(x＞2)，则F′(x)＝eq\f(x－4－2lnx,(x－2)2)．令m(x)＝x－4－2lnx(x＞2)，则m′(x)＝1－eq\f(2,x)＞0，所以m(x)在(2，＋∞)上单调递增，m(8)＝4－2ln8＜4－2lne2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln10＞6－2lne3＝6－6＝0，所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x0－4－2lnx0＝0，故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即F′(x)＜0，当x＞x0时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(x0)＝eq\f(x0lnx0＋x0,x0－2)＝eq\f(x0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x0－4,2))),x0－2)＝eq\f(x0,2)，所以k＜eq\f(x0,2)，因为x0∈(8，10)，所以eq\f(x0,2)∈(4，5)，故k的最大值为4．点评 1．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解．2．对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．【对点训练】1．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln6,6)，则( )A．ab>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足a·be2，则正确结论的序号是( )A．(1)(3) B．(2)(3) C．(1)(4) D．(2)(4)3．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z4．下列四个命题：①ln5<eq\r(5)ln2；②lnπ>eq\r(\f(π,e))；③<11；④3eln2>4eq\r(2)．其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数f(x)＝kx2－lnx，若f(x)>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，\f(1,e))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2e))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，＋∞))6．已知0eq\f(lnx2,x1) B．eq\f(lnx1,x2)<eq\f(lnx2,x1) C．x2lnx1>x1lnx2 D．x2lnx1