点差法在圆锥曲线中的应用（解析版）

点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.x2y2【例1】过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.164【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=22222∵又A、B两点在椭圆上,则x1+4y1=16,x2+4y2=162222两式相减得(x1−x2)+4(y1−y2)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0y1−y2x1+x241∴=−=−=−x1−x24(y1+y2)4×2211即k=−,故所求直线的方程为y−1=−(x−2),即x+2y−4=0.AB22x2y2【例2】已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．a2b2(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．c【解析】(1)∵e==3,2b=22,∴c=3a,b=2．a∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．y2∴双曲线C的标准方程为x2-=1．2(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．y2x2-1=112由A,B在双曲线上,可得：,y2x2-2=122两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：y-y2(x+x)k=21=12=2,x2-x1y1+y2则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.x2y2【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C:+=1a>b>0经过点P0,1，且a2b23离心率为.2(1)求椭圆C的标准方程；3(2)设过点0,-的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求MO的5最大值.x2y23【解析】(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P(0,1)，其离心率为．a2b22c3b23b1∴b=1，=⇒1-=，∴=，∴a=2，a2a24a2x2故椭圆C的方程为：+y2=1；4(2)当直线l斜率不存在时，M与O重合，不合题意，当直线l斜率存在时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，3y0+x1+x2y1+y2y1-y25则有x0=，y0=，直线l的斜率为=，22x1-x2x0x2x2A，B两点在椭圆上，有1+y2=1，2+y2=1，414222x1-x222x1+x2y1-y2两式相减，=-y1-y2，即=-，44y1+y2x1-x23y0+x052212得=-，化简得x0=-4y0-y0，4y0x052222122122MO=x+y=-3y-y=-3y++，∴当y=-时，0005005250523MO的最大值为5【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.22引理：设Ax1,y1、Bx2,y2是二次曲线C:Ax+By+Cx+Dy+F=0上两点,Px0,y0是弦AB的中点,且弦AB的斜率存在,22则Ax1+By1+Cx1+Dy1+F=0⋯⋯(1)22Ax2+By2+Cx2+Dy2+F=0⋯⋯(2)由(1)-(2)得Ax1-x2x1+x2+By1-y2y1+y2+Cx1-x2+Dy1-y2=0,x+xy+y∵x=12,y=12,0202∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0∴2Ax0x1-x2+2By0y1-y2+Cx1-x2+Dy1-y2=0,∴2Ax0+Cx1-x2=-2By0+Dy1-y2,y1-y22Ax0+C∴直线AB的斜率kAB==-2B+D≠0,x1≠x2.x1-x22By0+D二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：x2已知椭圆+y2=1.211(1)求过点P,且被P点平分的弦所在直线的方程;22(2)过点A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.x2【解析】(1)设Ax,y、Bx,y是椭圆+y2=1上两点,Px,y是弦AB的中点,1122200x21+y2=121则,两式相减得：x22+y2=122x1-x2x1+x2+2y1-y2y1+y2=0,1x1+x21y1+y2∵=,=,2222∴x1+x2=1,y1+y2=1∴x1-x2+2y1-y2=0,1∴直线AB的斜率k=-.AB2111直线AB的方程为y-=-x-,即2x+4y-3=0.22211因为P,在椭圆内部,成立.22x2(2)由题意知：割线的斜率存在,设Ax,y、Bx,y是椭圆+y2=1上两点,Px,y是弦AB的中点,11222x21+y2=121则,两式相减得：x22+y2=122x1-x2x1+x2+2y1-y2y1+y2=0,x+xy+y∵x=12,y=12,22∴x1+x2=2x,y1+y2=2y∴2xx1-x2+4yy1-y2=0,y1-y2x∴直线AB的斜率kAB==-x1≠x2x1-x22yy-1又k=,ABx-2y-1x所以=-,x-22y化简得：x2+2y2-2x-2y=0-2≤x≤2,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0-2≤x≤2(三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率x2【例5】已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F,F,点M,N在椭圆C上.5121(1)若线段MN的中点坐标为2,,求直线MN的斜率；3(2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值.22x1x2【解析】(1)设Mx,y,Nx,y,则+y2=1,+y2=1,11225152x1+x2x1-x2两式相减,可得+y+yy-y=0,512124x-x2y-y则12+12=0,53y1-y266解得kMN==-,即直线MN的斜率为-；x1-x255(2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：x=my-2,Nx3,y3,Px4,y4,x=my-2联立2,消去x整理得m2+5y2-4my-1=0,显然Δ=20m2+1>0,x+y2=154m-11故y+y=,y⋅y=,故△PMN的面积S=2S=2⋅OF⋅y-y34m2+534m2+5△PMN△OPN21344m2-145m2+1=2⋅-4⋅=,m2+5m2+5m2+5245t4545令t=m+1,t≥1,则S△PMN=2=≤=5,当且仅当t=2,即m=±3时等号成立,t+4t+44t故△PMN面积的最大值为5.x2y29【例6】已知椭圆+=1上不同的三点Ax,y,B4,,Cx,y与焦点F4,0的距离成等差数列.(1)25911522求证：x1+x2=8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.【解析】(1)证略.(2)解∵x1+x2=8,∴设线段AC的中点为D4,y0.x2y2x2y2又A、C在椭圆上,∴1+1=1,(1)2+2=1,(2)2592592222x1-x2y1-y21-2得：=-,259y1-y29x1+x29836∴=-=-⋅=-.x1-x225y1+y2252y025y025y025y0∴直线DT的斜率k=,∴直线DT的方程为y-y=x-4.DT360369-0646455令y=0,得x=,即T,0,∴直线BT的斜率k==.25254-64425(四)点差法在轴对称中的应用6x2【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O为坐标原点，点1,在椭圆C：+2a2y2=1a>b>0上，直线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为b21-．2(1)求C的方程；(2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．y1+y2x1+x2y1+y2y1-y22y1+y2【解析】(1)设Ax1,y1,Bx2,y2，则M,,kAB==1,kOM===22x1-x2x1+x2x1+x221-2x2y21+1=1a2b2∵Ax,y,Bx,y在椭圆上，则1122x2y22+2=1a2b22222222x1-x2y1-y2y1-y2y1+y2y1-y2b两式相减得2+2=0，整理得22=×=-2abx1-x2x1+x2x1-x2ab21b2∴k⋅k=-，即-=-，则a2=2b2ABOMa22a26x2y213又∵点1,在椭圆C：+=1上，则+=12a2b2a22b2联立解得a2=4,b2=2x2y2∴椭圆C的方程为+=142(2)不存在，理由如下：假定存在P，Q两点关于l：y=x+1对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON∵PQ⊥l，则kAB⋅kPQ=-1，即kPQ=-1111由(1)可得k⋅k=-，则k=，即直线ON:y=xONPQ2ON22y=1xx=-2联立方程2，解得y=x+1y=-1即N-2,-122-2-13∵+=>1，则N-2,-1在椭圆C外422∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称x2y26【例8】已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点1,，直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，且线段a2b221AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为-．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，求实数m的范围．x1+x2y1+y2【解析】(1)设Ax,y,Bx,y，则M,，112222y1+y21即kOM==-．x1+x22x2y2x2y2因为A，B在椭圆C上，所以1+1=1，2+2=1，a2b2a2b2x1+x2x1-x2y1+y2y1-y21y1+y2y1-y2两式相减得2+2=0，即2+2=0，ababx1+x2x1-x2y1-y21122又kAB==1，所以2-2=0，即a=2b．x1-x2a2b613又因为椭圆C过点1,，所以+=1，解得a2=4,b2=2，2a22b2x2y2所以椭圆C的标准方程为+=1；42(2)设Px3,y3,Qx4,y4,PQ的中点为Nx0,y0，所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+m．x2y2x2y2又因为P，Q在椭圆C上，所以3+3=1,4+4=1．4242x+xx-xy+yy-y两式相减得3434+3434=0．42x3+x