导数中的五大同构体系总结(解析版)

2023-11-18 · 13页 · 412.4 K

导数中的五大同体系总结ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ题型一:导数中的结构一致性同构ˆˆˆˆˆˆ题型二:恒成立同构问题ˆˆˆˆˆˆ题型三:函数零点的同构问题ˆˆˆˆˆˆ题型四:同构出多变量之间的关系ˆˆˆˆˆˆ题型五:朗博同构与隐零点代换ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ题型一导数中的结构一致性同构【精选例题】x1x2x2e-x1e1若对任意的x1,x2∈-2,0,x1ax1-x2,整理得x2e+ax2>x1-x2x1x2xx2eaeaeax1e+ax1,因为x1x2>0,所以+>+,令fx=+,则函数fx在-2,0上递减,则x1x1x2x2xxxex-1-axxfx=≤0在-2,0上恒成立,所以ex-1≤a在-2,0上恒成立,令gx=ex2xxxxx-1,则gx=ex-1+e=xe<0在-2,0上恒成立,则gx=ex-1在-2,0上递减,所33以gx≤g-2=-,故只需满足:a≥-.故选:A.e2e2π2已知a=1,b=3,1,向量a与b的夹角为,若对任意x,x∈m,+∞,当x2a-b恒成立,则实数m的取值范围是()x1-x2122133A.,eB.e,+∞C.,eD.e,+∞ee【答案】Dπ2【详解】解:因为a=1,b=3,1,向量a与b的夹角为,所以2a-b=2a-b=3224a-4a⋅b+b=4-4×1×2×cosπ+4=2,因为对任意x,x∈m,+∞,当x2a-b恒成立,所以对任意x1,x2∈m,+∞,当x12恒成立,x1-x2x1-x2lnx22lnx12lnx2所以对任意x1,x2∈m,+∞,当x1e,所以gx的单调减区间为e,+∞,所以m≥e,则实数m的取值范围是[e,+∞),故选:D2xfx1-fx2x1x23已知函数fx=x+1e,若对任意00,故fx1-fx2=fx1-fx2=2x12x2fx1-fx2x1x22x12x12x22x2x1+1e-x2+1e,故<λe-e⇔x1+1e-λe<x2+1e-λe,令gx=ex1+ex222x2x2x2x(x+1)x+1e-λe,x∈0,+∞,则gx=(x+1)e-2λe,令gx≤0,故2λ≥,令hx=ex22(x+1)1-x,故hx=,故当x∈0,1时,hx>0,当x∈1,+∞时,hx<0,即函数hx在exex420,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,故2λ≥h1=,解得λ≥,故实数λ的取值范围为ee2,+∞,故选:Defx1-fx24若函数fx对∀x1,x2∈a,b且x1≠x2都有>k(k>0),则称函数fx在区间a,b上kx1-x22阶递增.已知函数gx=ax+1+lnx在2,+∞上2阶递增,则实数a的取值范围为()11A.2-3,+∞B.2+3,+∞C.,+∞D.,+∞42【答案】Cgx1-gx2【详解】由题意,对∀x1,x2∈2,+∞且x1≠x2都有>2成立,不妨设x12,则hx12在2,+∞上单调递增,即对于∀x∈2,+∞,hx=2ax+1+-2≥0恒成立,即对于x12x-12x-12x-22∀x∈2,+∞,2a≥恒成立,而==,令x-x2+xx2+x12133x-2+2x-2+414x-2+1+2x-23333134343414=tt>,则函数y=t+在,+∞上单调递增,则t+>+=2,即x-+>22t2t23212x-22x-121112,所以=<,所以2a≥,即a≥,23224x+x14x-2+1+2x-21所以实数a的取值范围为,+∞.故选:C.4【跟踪训练】1若2x-2y<3-x-3-y,则()A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<02xy-x-yx-xy-yt-tx-x【详解】由2-2<3-3得:2-3<2-3,令ft=2-3,∵y=2为R上的增函数,y=3为R上的减函数,∴ft为R上的增函数,∴x1,∴lny-x+1>0,则A正确,B错误;故CD无法确定.故选:A.12fx1-fx22已知函数fx=alnx+x,若对任意正数x1,x2x1≠x2,都有>2恒成立,则实数2x1-x2a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,+∞D.2,+∞【答案】Cf(x1)-f(x2)f(x1)-2x1-f(x2)-2x212【详解】根据>2,可知>0,令gx=fx-2x=alnx+xx1-x2x1-x22-2x(a>0)2f(x1)-2x1-f(x2)-2x2ax-2x+a由>0,知gx为增函数,所以gx=+x-2=≥x1-x2xx220x>0,a>0恒成立,分离参数得a≥2x-x,而当x>0时,2x-x在x=1时有最大值为1,故a≥1,即实数a的取值范围为1,+∞.故选:C.23已知fx=x+x+alnx(a∈R).(1)讨论fx的单调性;(2)若a=1,gx=x+1-fx,∀x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,x1gx2-x2gx1>λx1-x2恒成立,求实数λ的取值范围.-1+1-8a【详解】(1)当a≥0时,fx在区间0,+∞上单调递增;当a<0时,fx在区间0,上单4-1+1-8a调递减,在区间,+∞上单调递增.422(2)当a=1时,gx=x+1-x+x+lnx=-x-lnx+1,x∈0,+∞,∀x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,x1gx2-x2gx1x1-x2gx2gx111x1gx2-x2gx1>λx1-x2等价于>λ,即->λ-,令x1x2x1x2x2x1x2x1gxxgx-gx,,则11恒成立hx=x∈0,+∞hx2-hx1>λ-hx=2=xx2x1x12x-2x---x-lnx+12xlnx-x-221=,令Fx=lnx-x-2,x∈0,+∞,则Fx=-2x=x2x2x21-2x222,令Fx=0,解得x=,当x∈0,时,Fx>0,Fx在区间0,单调递增;当x∈x22222,+∞时,Fx<0,Fx在区间,+∞单调递减,∴当x∈0,+∞时,Fx的最大值为2222115215F=ln--2=-ln2-<0,∴当x∈0,+∞时,Fx=lnx-x-2≤-ln2-<0,22222222lnx-x-2gx即hx=<0,∴hx=在区间0,+∞上单调递减,不妨设x1hx2,又∵y=在区间0,+∞上单调递减,∀x1,x2∈(0,+∞),且x1xx111111λλ,∴hx2-hx1>λ-等价于hx1-hx2>λ-,∴hx1->hx2-,设x2x2x1x1x2x1x2λλλGx=hx-,x∈0,+∞,则∀x1,x2∈(0,+∞),且x1hx2-等价于Gx1>xx1x232λ22lnx-x-2Gx2,即Gx在(0,+∞)上单调递减,∴Gx=hx+≤0,∴λ≤-xhx,∴λ≤-x⋅x2x22151=-Fx,∵当x∈0,+∞时,Fx的最大值为F=-ln2-,∴-Fx的最小值为ln2+222251515,∴λ≤ln2+,综上所述,满足题意的实数λ的取值范围是-∞,ln2+.22222题型二恒成立同构问题【精选例题】x+lnaalnx1若关于x的不等式->0对∀x∈0,1恒成立,则实数a的取值范围为()exx1111A.-∞,B.,+∞C.,1D.0,eeee【答案】Blnex+lnaalnxlnaexlnxlnx【详解】由题意可知a>0,>,即>对∀x∈0,1恒成立.设gx=,则exxaexxxx1-lnx问题转化为gae>gx在0,1上恒成立,因为gx=,所以当00,当xx2>e时,gx<0,所以gx在0,e上单调递增,在e,+∞上单调递减,又g1=0,所以当x∈0,1xx时,gx<0;当x∈1,+∞时,gx>0.①在x∈0,1上,若ae≥1恒成立,即a≥1,gae≥0>xxxxgx;②在x∈0,1上,若0x恒成立,即0,所以hx在0,1上单调递增,所以hx1时,ut>0,函数ut在1,+∞上单调递增,当0

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