构造对偶式的八种途径

构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果.下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径.一．和差对偶对于表达式u()()xvx，我们可构造表达式u()()xvx作为它的对偶关系式.例１若0，且3sin4cos5，求tan的值.2解析：构造对偶式：3sin4cosy5ysin3sin4cos56则,得3sin4cosy5ycos873再由sin2cos21，得：y,tan.54点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力.例２已知：a,,,bcdR，且a2b2c2d21，求证：()()(ab4ac4ad)()()()64bc4bd4cd4.解：设Mab()()()()()()4ac4ad4bc4bd4cd4,构造对偶式:Nab()()()()()()4ac4ad4bc4bd4cd4则有：MN6(abcd44442ab222ac222ad222bc222bd222cd22)6(a2b2c2d2)26又N0，故M6，即原不等式成立.点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了.解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！例３解方程：x28x21x28x2110解：构造对偶式：x28x21x28x21a，再由原方程联立可解得：10ax28x21,(1)210ax28x21,(2)21那么(1)2(2)2得：2x242(100a2),(3)28x (1)2(2)2得：16x10a，即a，5164代入（３）中得：2x242(100x2)，225910整理得：x24， 解得：x.253二．互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法.111例４若x,y,z(0,1)，求证：3.1xy1yz1zx111解：设M,1xy1yz1zx构造对偶式：N(1xy)(1yz)(1zx)，则1111MN(1xy)(1yz)(1zx)1xy1yz1zx1yz2226111而N3，故M3，即3.1xy1yz1zx例５设为互不相等的正整数，a1,,,,a2a3anaaa111求证：a23n1.12232n223naaa111解：设Ｍ＝a23n，构造对偶式：N122223na1a2an1a1a1111则MN(a)(2)(n)1122a12a2nan23n111 又a,,,,aaa为互不相等的正整数，所以N1，因此123n23n111M1.23n点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的.1例６已知对任意x(,0)(0,)总有f(x)2f()x0，求函数yf()x的x解析式.1解析：因f(x)2f()x0 ①x111用替代上式中的x，构造对偶式：f()2f(x)0 ②xxx12由①－②×２得：f(x)x4f()0xxx22x故f(x).3x三．共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法.例７已知zc，解方程：zz3iz13i.解析：由zz3iz13i ① 构造对偶式：zz3iz13i ②由①－②得zz2，代入②得(z1)(z13i)0，故z1或z13i.z1例８若zc，已知z1且z1，证明：为纯虚数.z1z1z1z1z1解：设Ｍ＝，则M()，构造对偶式：Ｎ＝z1z1z1z1z1z12则Ｍ＋Ｎ＝＋＝０（因为zzz1）z1z1z1又0（因为z1）z1z1∴为纯虚数.z1例９已知：a0,b0，且ab1，求证：2a12b122.证明：设Ｍ＝2a12b1，构造对偶式：Ｎ＝2a12b1∵M2M2N24(ab)48∴M22，即原不等式成立.四．倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法.例１０求和：1234nS1Cn2Cn3Cn4CnnCnknk*解析：观察和式联想到CnCn,0kn,nN，故首先在和式右边添上一项0，则012n 0CnS0Cn1Cn2CnnCn①构造对偶式： 0120 SnCn(n1)Cn(n2)Cn0Cn②即亦为： 012n ②S0Cn1Cn2CnnCn③由＋得：01n1n①③nCnnCnnCnnCn01n1n01n1n∴2SnCnnCnnCnnCnn(CnCnCnCn)∴2Sn2n∴Sn2n点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例１１正项等比数列中，试用Ｓ，{an}Ta1a2a3an,Sa1a2a3an111Ｔ表示Q.∵∴a1a2an解析：传统解法都用a1,q表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过a1和q找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q1和q1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点.其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试.由题意知： Ta1a2a3an①构造倒序对偶式： Tanan1an2a1②n由得：22，即2①×②T(a1an)(a2an1)(ana1)(a1an)T(a1an)111再来看： Q ③a1a2an111构造倒序对偶式：Q ④anan1a1即③＋④得：1111112Q()()()，a1ana2an2ana1a1ana2an2ana1即2Q.a1ana2an2ana1由等比数列性质可知，右边的分母均为a1an，故(aa)(aa)(aa)2Q1n2n1n1a1an2SS即2Q，∴Qa1ana1an2nSS又a1anT ∴Q.2n2TnT五．定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法.x2111例１２已知函数f(x).f()f()f()f(1)f(2)f(3)f(4)，1x2432则Ｓ＝ .1()21x2x21解析：xf(x)f()2221x1x121x1x1()x1发现定值：f(x)f()1.x111那么Sf()f()f()f(1)f(2)f(3)f(4) ①432111 构造对偶式：Sf(4)f(3)f(2)f(1)f()f()f() ②234由①＋②得：1112S[f()f(4)][f()f(3)][f()f(2)]2f(1)432111[f(2)f()][f(3)f()][f(4)f()]2347∴２Ｓ＝７，即S.2六．奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法.1352n11例１３求证：.2462n2n11352n12462n解：设M，构造对偶式：N.2462n3572n112342n12n由于,,,,23452n2n11因此MN，从而M2MN2n11故M.2n111例１４求证：(11)(1)(1)33n143n211253n1证明：待证不等式的左边为：(11)(1)(1).43n2143n2253n1令：M143n2363n473n1构造两个对偶式：N,P253n1363n2345673n13n3n1∵,,1234563n23n13nM3MNP253n1363n473n1∴()()()143n2253n1363n3n1∴M33n1故原不等式成立.点评：灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，从而完成了解答，充分体现了解题技巧.七．轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法.a2b2例１５求证：对任意实数a.1,b1，都有8不等式成立.b1a1a2b2b2a2证明：设M构造对偶式N，b1a1b1a1a2b2b2a2(ab)(ab)2则MN0，即MNb1a1(b1)(a1)1111而Nb1a14(b1)(a1)4228，b1a1b1a1∴MN8，即M8.当且仅当ab2时等号成立.a2b2c2abc例１６设a,b,cR，求证：.abbcca2a2b2c2b2c2a2证明：设M，构造对偶式：N，abbccaabbccaa2b2b2c2c2a2abbcca∴MNabc.abbcca222abc又MN0，即MN，2a2b2c2abc∴.abbcca2八．互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答.例１７已知x[0,]，解方程：cos2xcos22xcos23x12解析：若令Mcos2xcos22xcos23x，构造对偶式：Nsin2xsin22xsin23x则：MN3 ①MNcos2xcos4xcos6x2cosxcos3x2cos23x12cos3x(cosxcos3x)14cosxcos2xcos3x1 ∴MN4cosxcos2xcos3x1 ②1由①＋②得：cosxcos2xcos3x(2M2)，又M14∴cosxcos2xcos3x0∴cosx0或cos2x0或cos3x0,x[0,]2∴x或x或x.642点评：通过构造对偶式，创设了cosxcos2xcos3x0这一美妙而又能打开书局面的有利条件，可谓“高招”！例１８求sin210cos240sin10cos40的值.解析：令Msin210cos240sin10cos40，构造对偶式：Ncos210sin240cos10sin40，则MN2sin10cos40cos10sin402sin50MNcos20cos80sin10cos40cos10sin4012sin50sin30sin30sin502MN2sin50∴1MNsin5023∴M4点评：这是一道比较典型的三角求值题.通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从