极化恒等式从入门到精通

极化恒等式从入门到精通极化恒等式从入门到精通一、初识极化恒等式我们知道，对于任意a，bR，恒有(()2()2aabaabbabaabb++=++−=−+b)222=a2+2ab+b2222，(a−b)2=a2−2ab+b2，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论：()aababab++=++b2222=a2+b2+2ab，①()abababa−−=+−b2222=a2+b2−2ab，②1将两式相减可得ab=()()a+b22−a−b，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．4极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义．几何解释1（平行四边形模型）以AB，AD为一组邻边构造平行四边形ABCDABCD，AB==a，ADb，11则AC=a+b，BD=b−a，由ab=()()a+b22−a−b，得ABAD=()AC22−BD．即“从441平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．4几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则111由ABAD=()AC22−BD变形为ABAD=()AC2−BD2=(44AM2−BM2)，得444ABAD=AM22−BM，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．答案第1页，共11页学科网（北京）股份有限公司正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用．【类型一】两向量共同的起点为动点2在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PBP+CBC的最小值是_______．解：取BC的中点O，133则PBPBPCBCPOBCBCPOBCHOBCHOBC+=−+=++=−+=++=PCBC222PO2BC2222BC2PO2BC222+HO2BC23HO=BC2323．4443如图所示，当点P运动到点H且使HOB⊥C与HO=BC时，等号成立，故有最小值为223．【类型二】两向量终点均为动点已知点O为坐标原点，ABC为圆M：(x−1)22+(y−3)=1的内接正三角形，则OA+()OBOC的最小值为_________．解：取BC的中点N，连结AN，取其中点D，如图所示，则：(ON+−OA)22(ONOA)19OAOB+OC=2ONOA=−=2OD2−AN2=2OD2−．()2228当正ABC沿圆周运动时，点D在以M圆心，以DM为半径的小圆上运动．由ABC外接331圆半径为1，可求得AN=，，AD=AM=1，从而DM=．所以OD的最小值是244729OM−=DM，故所求最小值为25OD−=．4min8答案第2页，共11页【类型三】两向量的起点和终点均为动点如图，已知ABC是边长为23的正三角形，EF为的外接圆O的一条直径，M为的边上的动点，则MEFM的最大值为________．解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O是的中点，所以：2MEFM=−MEMF=−MO22+FO=4−MO．当M为正三角形ABC三边的中点时，MO最小值均为1，故的最大值为3．二、经典例题例1已知中，AB==42，AC，且|AB+()()2−2AC∣R的最小值为，若P为边AB上任意一点，求PBPC的最小值．答案第3页，共11页学科网（北京）股份有限公司解：令ADABACABAE=+−=+−()22()1（其中AEA=C2），则D，BE，三点共线（如图），从而∣∣ABAC+−()2223的几何意义表示点A到直线BE的距离为23，这说明ABE是等边三角形，BC为边AE上的高，故BC=23．192取的中点M，则由向量极化恒等式可得PBPCPMBCPMd=−=−−=−|2|3322，44其中d为点到边AB的距离．即当点P在垂足H（非端点）处时，PBPC达到最小值．例2已知直线与抛物线xy2=4交于两点，为的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C00ACB=minCACB，求证：C0M⊥l（l是抛物线过点的切线）．221解析：由极化恒等式知CACB=CM−AB，由于是固定的，故当CM最小时，CACB4最小．因此，本题等价于在抛物线上找一点使得最小．如图所示，以点为圆心，逐步增大圆的半径，当圆刚好碰到抛物线时那个点恰为圆与抛物线的公共切点，故（是抛物线过点的切线）．答案第4页，共11页三、极化恒等式中的转化思想1、化动为定，破不定之惑一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村．例1：已知RtABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PAPB的取值范围是（）．3555A．−，B．−，C．−35，D．1−+231，232222解析：此题符合运用极化恒等式速解平面向量问题的基本要求，但在具体使用中遇到了点是运动的点这一特殊情况，动点问题是突破极化恒等式应用的瓶颈．结合条件中是以为22圆心，1为半径的圆上的任意一点，通过极化恒等式PAPB=PM−AM，不妨将PM的最值问题转化为圆心距CM的最值问题，这样问题便可迎刃而解．222如图所示，在上，不妨取的中点M，则PAPB=PM−AM=PM−4．答案第5页，共11页学科网（北京）股份有限公司设圆的半径为r=1，而||PMCMrmax=+=+=213，则：22()345PAPB=−==−=−==−=||max−，PMCMrPAPBmin211()143，min．因此PAPB的取值范围是−35，．反思：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，如此题中圆的半径是“定”这一重要信息的使用至关重要；化动为定可破不定之惑，也可使一些压轴问题成为得分题．2、化动为静，破多动点之惑极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解．例2：如图，圆O为RtABC的内切圆，已知AC=3，，BC=4C=90，过圆心的直线l交圆于PQ、两点，则BPCQ的取值范围是_________．答案第6页，共11页解析：此题初看也是可以使用极化恒等式求解平面向量问题，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，即便学生掌握了极化恒等式的知识和方法，也无法突破这个困惑．因此学生需要结合转化思想，挖掘题中静态条件进行突破．此题中圆是相对静态的，若能将BPB=+CCP，则BC为定，CP为动，、CQ呈现动态但都涉及一个定点C，再结合圆的特征，可得CPCQ=−COOP22，则动态问题转化为静态问题，多动点之惑得以化解．圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将，这样一转化，22BPCQ=()BC+CPCQ，CPCQ=CO−OP=2−1=1，而BCCQ=−CBCQ，若CQ⊥BC，则(CB=CQ)min0．若Q在CB的投影为BC的中点时，()CBCQmax=CBCQ=42=8，因此BPCO的取值范围是−71，．反思：遇到多动点问题时，学生要考虑“化动为静”的策略，如此题先将点P过渡转化到点C，余下一个动点Q，则问题便可如例1进行处理，这样的处理手段实际上是一个逐渐将多动点化为少动点的过程，这是一个重要的解题思想，即转化思想．3、化曲为直，破最值之惑极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解．例3：在RtABC中，ACB=90，，AC=3AB=5，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OAOC的最大值是_____________．答案第7页，共11页学科网（北京）股份有限公司分析：初看此题，学生一般想通过极化恒等式进行处理，不妨取AC的中点为M，得等式OAOCOMAM=−22，但在如何处理OM时，陷入困境．分析原因是RtABC在变化，使得长度不定，但与直角三角形的斜边中点有一定的关联，不妨取AB中点为N，得MNO，再结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），最大值可求．如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于22222253OAOC=OM−AM=(ON+NM)−AM2+−=18，答案为18．22反思：这是一个运用极化恒等式求最值的典型示例，这类问题的处理除理解和掌握极化恒等式的基本性质还不够，还需要灵活地运用有关边长关系或隐性条件，再结合定理性质，最值问题便可突破化解．4、化普通为特殊，破极限之惑平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立．例4：在锐角ABC中，已知B=，AB−AC=2，则ABAC的取值范围是____________．3解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取BC的中点22为M，立即可得等式ABAC=AM−MB，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．答案第8页，共11页如图，取BC的中点M，可得ABACAMMBAM=−=−2221，AM应长度变化的极限位置是ABC为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即C为直角和A为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作CA11A⊥B，垂足为A1，此时BAC11A=M9=01，；过点C作CA2B⊥C，垂足为C，此时BCA2=90，222A22M=AC+|MC|=(23)+1=13，因此AM2()113，，故ABAC取值范围是()012，．反思：破解这类问题，因通过极化恒等式转化后，线段的最值求解没有一定的现成条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果．四、专题强化训练1．设向量ab,满足a+=b10，ab−=6，则ab=A．1B．2C．3D．512．设，P是边AB上一定点，满足PB=AB，且对于边上任一点P，恒有004PBPCP00BPC.则（）答案第9页，共11页学科网（北京）股份有限公司A．ABC=90B．BAC=90C．AB=ACD．AC=BCxy223．若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则43OPFP的最大值为A．2B．3C．6D．84．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()a(c)−b0c−=，则c的最大值是A．1B．2C．D．5．已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA()PB+PC的最小值是()34A．−2B．−C．−D．−1