圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x2y2例1：Q,Q为椭圆1上两个动点，且OQOQ，过原点O作直线QQ的122b2b21212垂线OD，求D的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)，D(x0,y0),设直线Q1Q2方程为ykxmykxm，联立x2y2化简可得:2212bb(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0，所以2b2(m2b2)b2(m22b2k2)xx,yy122b2k2b2122b2k2b2因为OQ1OQ2所以2b2(m2b2)b2(m22b2k2)2(m2b2)m22b2k2xxyy=012122b2k2b22b2k2b22k212k212223m2b(1k)2x0x0x0又因为直线Q1Q2方程等价于为yy0(xx0)，即yxy0对比于y0y0y0x0ky02222ykxm，则代入中，化简可得：x0y0b.x230ym0y0圆锥曲线齐次式与点乘双根法解法二（齐次式）：mxny1mxny1设直线方程为，联立2222Q1Q2mxny1xyxy22122102bb2bbx2y2x2y2(mxny)20化简可得:m2x2n2y22mnxy02b2b22b2b2整理成关于x,yx,y的齐次式：(22b2n2)y2(12m2b2)x24mnb2xy0，进而两边同时除以x2，则12m2b2(22b2n2)k24mnb2k12m2b20kk1222b2n212m2b2因为OQOQOQOQ所以kk1，112121222b2n222232b(mn)2x0x0x0又因为直线Q1Q2方程等价于为yy0(xx0)，即yxy0对比于y0y0y0x0m22x0y02222mxny1，则代入中，化简可得：x0y0b.y30n22x0y0x2例2：已知椭圆y21，设直线l不经过点P(0,1)的直线交于A,B两点，若直线4PA,PB的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点.圆锥曲线齐次式与点乘双根法解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py'，如图所示：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)x'xAA'所以y'y1BB'y11y21y1'y2'原来kPAkPB11则转换到新坐标就成为：1x1x2x1'x2'即k1'k2'1设直线l方程为：mx'ny'1原方程：x24y24则转换到新坐标就成为：x'24(y'1)24展开得：x'24y'28y'0圆锥曲线齐次式与点乘双根法构造齐次式：x'24y'28y'(mx'ny')0整理为：(48n)y'28mx'y'x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'28mk'108m1所以k'k'1所以2m2n1mn1248n21x'而mx'ny'1(n)x'ny'1n(x'y')10对于任意n都成立.22x'y'0x'2x2则：x'，故对应原坐标为所以恒过定点(2,1).10y'2y12x2y2例3：已知椭圆1，过其上一定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭82圆于A,B两点，证明：直线AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py'，如图所示：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')圆锥曲线齐次式与点乘双根法即(2,1)(0,0)x'x2AA'所以y'y1BB'y11y21y1'y2'原来kPAkPB00则转换到新坐标就成为：0x12x21x1'x2'即k1'k2'0设直线AB方程为：mx'ny'1原方程：x24y28则转换到新坐标就成为：(x'2)24(y'1)28展开得：x'24y'24x'8y'0构造齐次式：x'24y'24x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0整理为：y'2(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'2(4n8m)k'14m04n8m所以k'k'0所以n2m1248n1而mx'ny'1mx'(2m)y'1mx2my10.所以k=21平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值.2圆锥曲线齐次式与点乘双根法二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右顶点分别为F1,F2，线段OF1,OF2中点分别为B1,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过B1作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程.x2y2解：（1）1204（2）易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：llyk(x2)，P(x1,y1),Q(x2,y2)因为，则，PB2QB2PB2QB2=0所以2(x12,y1)(x22,y2)0(x12)(x22)k(x12)(x22)0yk(x2)222现联立x2y2x5k(x2)20012042222则方程x5k(x2)200可以等价转化(15k)(x1x)(x2x)0即2222x5k(x2)20(15k)(x1x)(x2x)80k216令，22x2480k20(15k)(x12)(x22)(x12)(x22)215k圆锥曲线齐次式与点乘双根法16令，2x24020(15k)(x12)(x22)(x12)(x22)215k80k21616结合(x2)(x2)k2(x2)(x2)0化简可得：012122215k15k1180k216k216064k216k2k421所以直线l方程为：y(x2).2