高中数学新教材知识点全归纳

第1章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素：确定性.互异性.无序性.2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.3.元素和集合的关系：属于(a∈A)和不属于(a∉A).4.常见数集：自然数集：N，正整数集：n或m1，整数集：Z，有理数集：Q,实数集R.5.集合的表示方法：(1)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.(2)描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征Px的元素x所组成的集合表示为x∈AP(x)，这种表示集合的方法称为描述法.§1.2集合间的基本关系1.子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作m2.2.真子集：如果集合n，但存在元素mn，且N=m1+m2+⋯+mn，则称集合A是集合B的真子集.记作：集合A⊊B(或B⊋A).3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：n.并规定：空集合是任何集合的子集.n4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有m1个子集，2-1个真子集.§1.3集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合集合A是集合B与B的并集.记作：m2.即A∪B=xx∈A,或x∈B.2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A是集合B与B的交集.记作：n.即A∩B=xx∈A,且x∈B.3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉U}.§1.4充分条件与必要条件1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；2.充分条件.必要条件与充要条件如果“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能提出结论q，记作p⇏q，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q此时则p是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.§1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为∀x∈Μ,p(x).(2)存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为∃x∈Μ,p(x).12.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：∀x∈Μ，p(x)，它的否定¬p：∃x∈Μ，¬p(x).(2)存在量词命题p：∃x∈Μ，p(x)，它的否定¬p：∀x∈Μ，¬p(x).2第2章一元二次函数、方程和不等式§2.1等式性质与不等式性质1.作差法比较大小a>b⇔a-b>0；ab⇔b>a(2)(传递性)a>b,b>c⇒a>c(3)(可加性)a>b⇔a+c>b+c(4)(可乘性)a>b,c>0⇒ac>bc；a>b,c<0⇒acb,c>d⇒a+c>b+d(6)(正数同向可乘性)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd(7)(正数乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1)§2.2基本不等式22①重要不等式：a+b≥2aba，b∈R,(当且仅当a=b时取=号).222变形公式：2(a+b)≥(a+b)a，b∈Ra+b+②基本不等式：≥aba，b∈R,(当且仅当a=b时取到等号).2a+b2变形公式：a+b≥2ab；ab≤.2用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要满足条件:“一正.二定.三相等”.§2.3二次函数与一元二次方程.不等式Δ>0Δ=0Δ<02y=ax+bx+ca>0的图象2bax+bx+c=0(a>0)的根x,x(x0(a>0)的解集xxx2xx≠-R2a2ax+bx+c<0(a>0)的解集xx1f(x2)或f(x1)-f(x2)>0，就称f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2.最大值、最小值：设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M，我们就称M是函数y=f(x)的最大值.如果存在实数N满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≥N;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=N，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数n的定义域为I,如果∀x∈I，都有-x∈I，且n(或f(-x)-f(x)=0)，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.且若f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数n的定义域为I,如果0∈I，则有f(0)=0.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式：y=xα，x是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：43.幂函数的性质：（1）定点：1,1.（2）单调性：α当α>0时，y=x在0,+∞上单调递增；α当α<0时，y=x在0,+∞上单调递减；5第4章指数函数与对数函数§4.1指数§4.1.1n次方根与分数指数幂n1.如果x=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，n∈N+.2.当n为奇数时，nan=a；nn当n为偶数时，a=a.3.规定：mnm*⑴an=a(a>0,m,n∈N,n>1)；-m11*⑵na=m=nm(a>0,m,n∈N,n>1).ana(3)0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义.4.运算性质：rrsr+sar-s⑴aa=aa>0,r,s∈Q；⇒=aasrsrsrssrrs⑵a=aa>0,r,s∈Q；⇒a=a=arrr⑶ab=aba>0,b>0,r∈Q.§4.1.2无理指数幂及其运算性质运算性质：rrsr+sar-s⑴aa=aa>0,r,s∈R；⇒=aasrsrsrssrrs⑵a=aa>0,r,s∈R；⇒a=a=arrr⑶ab=aba>0,b>0,r∈R.§4.2指数函数x1.定义：函数y=aa>0,a≠1叫做指数函数，定义域为R.2.性质：a>100,ax>1;(5)x>0,01§4.3.对数x1.定义：如果a=Na>0,a≠1；那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，a叫对数的底数，N叫真数.6x2.指数与对数间的关系：当a>0,a≠1时，a=N⇔x=logaNlogaNN3.对数恒等式：a=N，logaa=N.4.两个特殊对数：(1)以10为底的对叫做常用对数，并把log10N记为lgN；(2)以无理数e=2.71828⋯⋯为底数的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN；5.基本性质：⑴loga1=0；⑵logaa=1；⑶负数和0没有对数.6.积、商、幂的对数运算法则：当a>0，a≠1，M>0，N>0时：⑴logaMN=logaM+logaN；M⑵log=logM-logN；aNaan⑶logaM=nlogaM.logcb5.换底公式：logab=a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0.logcamm16.推论：⑴loganb=logab⑵logab=a>0,a≠1,b>0,b≠1.nlogba§4.4.对数函数1.定义：函数y=logaxa>0,a≠1叫做对数函数，定义域是0,+∞.2.性质：a>101,logax>0；(5)x>1,logax<0；00§4.5.函数的应用4.5.1函数的零点与方程的解1.方程fx=0有实数解⇔函数y=fx的图象与x轴有公共点⇔函数y=fx有零点.2.函数零点存在性定理：如果函数y=fx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa⋅fb<0，那么函数y=fx在区间a,b内至少有一个零点，即存在c∈a,b，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的解.3.用二分法求方程的近似解对于在区间a,b上图象连续不断且fa⋅fb<0的函数y=fx，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.7第5章三角函数§5.1.1.任意角1.正角、负角、零角、象限角的概念.正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。2.旋转与运算：(1)角的加法：角α的终边旋转角β后所得的终边对应的角是α+β.(2)角的减法：α-β=α+-β。3.与角α终边相同的角的集合：ββ=α+k360°⋅,k∈Z.§5.1.2.弧度制1.1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.l2.弧度公式：α=(r为圆的半径，弧长为l的弧所对的圆心角为α)。r3.弧长公式：l=αR.π1804.角度与弧度换算：180°=πrad⇒1°=rad；1rad=°。180π2nπR1125.扇形面积公式：S==lR=αR.(R为圆的半径，扇形弧长为l，圆心角为α)36022§5.2.1.三角函数的概念1.三角函数定义1：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，则：把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα.即y=sinα；把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα.即x=cosα；yy把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫做α的正切函数，记作tanα.即=tanαx≠0。xx正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数：y=sinx,x∈R余弦函数：y=cosx,x∈Rπ正切函数：y=tanx,x≠+kπk∈Z2222.三角函数定义2：设点Px,y(不与原点重合)为