2023年数学九年级上册北师大版专题02 特殊四边形的旋转、折叠、最值问题(解析版)

专题02特殊四边形的旋转、折叠、最值问题菱形的旋转问题1．（2020秋·福建南平·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（    ）  A． B． C． D．或【答案】D【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD=60°，AD=4，∴∠OAD=30°，∴OD=2，∴AO==OC，∴点C的坐标为（0，），  同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选D.【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点D，将菱形绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是，旋转2022次后，点D的坐标是．【答案】【分析】求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，根据周期性，可求出点D的坐标．【详解】解：如下图所示，作轴交于点E，∵四边形是菱形，∴，点D是的中点，∵点A的坐标为，∴，∵，∴，∵轴，∴，，∴，∴点B的坐标为，，∵点D是的中点，∴点D的坐标为，，菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，根据图形变化可得，旋转1次坐标为，旋转2次坐标为，旋转3次坐标为，旋转4次坐标为，旋转5次坐标为，旋转6次坐标为，……，∴旋转2次后，点D的坐标是，坐标的变化具有周期性，，∴旋转2022次后．点D的坐标是故答案为：；．【点睛】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键，综合性较强，难度较大．3．（2022秋·全国·九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45°，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可；（2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证；（3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解．【详解】（1）证明：如图，∵平行四边形ABCD中，ADBC，∴AFBE，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，又∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°，∴∠BAC＝∠AOF，∴ABEF，∴四边形ABEF是平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，ADBC，∴∠OAF＝∠OCE，∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF＝CE．∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．（3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形．理由如下：由（2）知：AF＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，AD＝BC，∴DF＝BE，DFBE，∴四边形BEDF是平行四边形．如图：∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝1，∴AO＝AB，∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°∵AC绕点O顺时针旋转45度，∴∠AOF＝45°，∴∠BOF＝90°，∴EF⊥BD．∴四边形BEDF是菱形．【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键．菱形的折叠问题4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）A． B． C．3 D．3.5【答案】A【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，解得，x＝，∴BE＝，故选：A．【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．5．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为【答案】．【详解】试题分析：如图1，连接AC，∵菱形ABCD的边长是，∠A=60°，则BD=AB=，AO=OB，∴AC=2AO=OB=BD==，∵沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，∴EG=AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴，又∵EG=AE，∴，解得EG=，∴EG的长为．故答案为．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．综合题．6．（2020秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，将平行四边形沿折叠，恰好使点与点重合，点落在点处，连接、．求证：．判断四边形的形状，说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）四边形是菱形，理由详见解析【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形与折叠性质，易得，则可利用AAS判定：；（2）由（1）易证得，又由AF∥EC，即可判定四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，由折叠的性质得：，，∴，，∴，又∵，，，∴，在和中，，∴；四边形是菱形，理由：由折叠的性质得：，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．掌握折叠前后图形的对应关系是解题关键．菱形的最值问题7．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】连接，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，再根据菱形的性质、勾股定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质求出的长即可得．【详解】解：如图，连接，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，四边形是菱形，，，，，，是等边三角形，点是的中点，，，即的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为．  【答案】【分析】连接与交于点O，延长到，使,连接，证明，得出，当点三点共线时，的最小，由勾股定理求出即可．【详解】解：连接与交于点O，延长到，使,连接，∵四边形是菱形，∴，，，，∴，由平移性质知，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，当点三点共线时，∴的最小值为：,故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是确定使所求的最小值．9．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．【答案】(1)见解析(2)PC+PE的最小值为【分析】（1）利用平行加角平分线，证明，从而得到，证明四边形ABCD是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；（2）连接，即为PC+PE的最小值，过作，利用等积法求出，再利用勾股定理求出，利用求出，再利用勾股定理即可求出．【详解】（1）证明：∵，BO平分∠ABC，∴，∵，∴，∴∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）过作，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴，∵，∴，∴，∵∴四边形为平行四边形，∴，∴，∵点关于的对称点为点，连接，则PC+PE的最小值=，，∴PC+PE的最小值为．【点睛】本题考查菱形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．本题中出现平行加角平分线模型以及将军饮马问题，是考试中常考的典型问题．矩形的旋转问题10．（2022秋·湖北·九年级统考期中）已知大小一样的矩形和矩形如图1摆放，，现在把矩形绕点A旋转，如图2，交于点M，交于点N，若，则的值为（   ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】设与交于点H，由已知可得、都是等腰直角三角形，由勾股定理可得、的长，从而可求得的长．【详解】设与交于点H，如图，∵四边形、四边形都是矩形，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，同理，是等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，由勾股定理得：，∴．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由题意得到若干个等腰直角三角形是问题的关键．11．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，其中点与点，点与点分别是对应点，连接．  (1)如图，若点，，第一次在同一直线上，与交于点，连接．①求证：平分．②取的中点，连接，求证：．③若，，求的长．(2)若点，，第二次在同一直线上，，，直接写出点到的距离．【答案】(1)①见解析；②见解析；③(2)【分析】（1）①根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；②如图1，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；③如图2，过点作的垂线，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得到结论．（2）如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，根据旋转的性质得到，，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：①证明：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，又，，，平分；②证明：如图1，过点作的垂线，垂足为Q，  平分，，，，，，，，，，即点是中点，又点是中点，；③解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，∴又，，，，，，，，则；（2）解：如图3，连接，，过作交的延长线于，交的延长线于，则，∴四边形是矩形，则，  将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，，，点，，第二次在同一直线上，，,，，，又，，，，又，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线．矩形的折叠问题12．（2022秋·陕西·九年级陕西师大附中校考期中）如图，点是矩形中边上一点，，将沿折叠，点恰好落在边处，满足，则的长为（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】根据矩形和轴对称的性质，得，,，根据含角直角三角形的性质，得，，从而推导得，再根据勾股定理性质计算，即可得到答案.【详解】∵点是矩形中边上一点，将沿折叠，点恰好落在边处，∴，,∵∴∵∴∴∴，设，则∴∴，即∴∴故选：C.【点睛】本题考查了含角直角三角形、矩形、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形、矩形的性质，从而完成求解.13．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片中，