专题03圆的有关性质圆的认识1.(2022秋•邗江区期中)已知⊙O的半径为2,则⊙O中最长的弦长( )A.2 B. C.4 D.【解答】解:∵圆的直径为圆中最长的弦,∴⊙O中最长的弦长为2×2=4.故选:C.2.(2022秋•姑苏区期中)如图所示,三圆同心于O,AB=4cm,CD⊥AB于O,则图中阴影部分的面积为 cm2.【解答】解:阴影部分的面积应等于=圆=π(4÷2)2=πcm2.3.(2022秋•镇江期中)战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中,就有“圆,一中同长也”的记载,这句话里的“中”字的意思可以理解为 .【解答】解:战国时期的《墨经》一书中记载:“圜(圆),一中同长也”.表示圆心到圆上各点的距离都相等,即半径都相等;故答案为:圆心垂径定理4.(2022秋•姑苏区校级期中)已知⊙O的半径为2,点P是⊙O内一点,且OP=,过P作互相垂直的两条弦AC、BD,则四边形ABCD面积的最大值为( )A.4 B.5 C.6 D.7【解答】解:如图:连接OA、OD,作OE⊥AC于E,OF⊥BD于F,∵AC⊥BD,∴四边形OEPF为矩形,∵OA=OD=2,OP=,设OE为x(x>0),根据勾股定理得,OF=EP==,在Rt△AOE中,AE==∴AC=2AE=2,同理得,BD=2DF=2=2,又∵任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的,∴S四边形ABCD=AC×BD=×2×2=2=2当x2=即:x=时,四边形ABCD的面积最大,等于2=5.故选:B.5.(2022秋•宿豫区期中)如图,AB为⊙O的弦,点P在弦AB上,若BP=6,AP=2,点O到AB的距离为3,则OP的长度是( )A.3 B.4 C. D.【解答】解:过点O作OC⊥AB,垂足为点C,因为BP=6,AP=2,点O到AB的距离为3,所以AB=8,AC=BC=4,OC=3,所以PC=AC﹣PA=4﹣2=2,所以.故选:D.6.(2022秋•江都区期中)如图,AB是⊙O的弦,直径CD⊥AB,交AB于点H,连接OA,若∠A=45°,AB=2,则DH的长度为( )A.1 B. C. D.3【解答】解:∵直径CD⊥AB,AB=2,∴AH=AB=1,在Rt△AHO中,∠A=45°,∴AH=OH=1,∴AO=DO=,∴DH=DO+OH=+1.故选:B.7.(2022秋•阜宁县期中)在⊙O中,直径AB=4,弦CD⊥AB于P,OP=,则弦CD的长为 .【解答】解:连接OC,∵在⊙O中,直径AB=4,∴OA=OC=AB=2,∴弦CD⊥AB于P,OP=,∴CP==1,∴CD=2CP=2.故答案为:2.8.(2022秋•丹阳市期中)圆的半径为5cm,圆心到弦AB的距离为4cm,则AB= cm.【解答】解:连接OB.∵在Rt△ODB中,OD=4cm,OB=5cm.由勾股定理得BD2=OB2﹣OD2=52﹣42=9.∴BD=3∴AB=2BD=2×3=6cm.故答案是6.9.(2022秋•丹阳市期中)如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为 .【解答】解:过点P作PC⊥AB于点C,∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,∴AC=BC,∵点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),∴点C的坐标为(4,0),AC=2,∴BC=2,∴OB=6,∴点B的坐标为(6,0).故答案为:(6,0).10.(2022秋•工业园区校级期中)在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm,另一条弦长为6cm,则这两条弦之间的距离为 .【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=8cm,CD=6cm,∴AE=4cm,CF=3cm,∵OA=OC=5cm,∴EO=3cm,OF=4cm,∴EF=OF﹣OE=1cm;②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=8cm,CD=6cm,∴AF=4cm,CE=3cm,∵OA=OC=5cm,∴EO=4cm,OF=3cm,∴EF=OF+OE=7cm.故答案为:1cm或7cm.11.(2022秋•姑苏区校级期中)如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB,垂足为H,CD=6,BD=,则OH的长为 .【解答】解:如图,连接OD;∵弦CD垂直于⊙O的直径AB,且CD=6,∴CH=DH=3;设⊙O的半径为r,OH=x,则BH=r﹣x;由勾股定理得:,解得:x=4,r=5;即OH的长为4,故答案为:4.12.(2022秋•惠山区期中)如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,若AB=10,CD=8,则图中阴影部分的面积为 .【解答】解:∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,CD=8,∴CH=DH=4,∵OC=OD,∴Rt△COH≌Rt△DOH(HL),∴S△COH=S△DOH,故图中阴影部分的面积为:S△ABD=AB•DH=×10×4=20.故答案为:20.13.(2022秋•泰兴市期中)如图,点C是AE的中点,在AE同侧分别以AC、CE为直径作半圆⊙B、⊙D.直线l∥AE,与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点,AE=12,设FG=x,MN=y.当7≤x≤11,则y的取值范围是 .【解答】解:过B点作BQ⊥FM于Q,过D点作DH⊥NG于H点,连接BF、DG,如图,则FQ=MQ,NH=GH,∵l∥AE,∴BQ=DH,BQ⊥AE,DH⊥AE,∴四边形BDHQ为矩形,∴QH=BD=AE=6,即QM+MN+NH=6,∴QM+NH=6﹣y,∵FQ=,GH=,而BF=DG,∴FQ=GH,∴FQ=MQ=NH=GH,∵FG=FM+MN+NG=2QM+MN+2NH=2(QM+NH)+MN,∴x=2(6﹣y)+y=12﹣y,∵7≤x≤11,∴7≤12﹣y≤11,∴1≤y≤5.故答案为:1≤y≤5.14.(2022秋•姜堰区期中)如图,半圆O的直径AB=4,弦,弦CD在半圆上滑动,点C从点A开始滑动,到点D与点B重合时停止滑动,若M是CD的中点,则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为 .【解答】解:当点C与点A重合时,如图,连接OM,∵点M是CD的中点,∴OM⊥CD,∴∠AMO=90°,∴OM===CM,∴∠AOM=45°,当CD在半圆弧上旋转到点D与点B重合时,此时可得∠BOM′=45°,∴∠MOM′=90°,即弦CD在半圆上滑动,点C从点A开始滑动,到点D与点B重合时停止滑动,OM就绕着点O逆时针旋转90°,∴OMM′=∠OM′M=45°,∴MM′∥AB,∴S△AMM′=S△BMM′,∴BM扫过的面积,即不规则扇形BMM′与扇形OMM′面积相等,∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为S扇形S扇形OMM′==,故答案为:.15.(2022秋•南京期中)如图,AB是⊙O的弦,点C在⊙O内,∠ACB=90°,∠ABC=30°,连接OC,若⊙O的半径是4,则OC长的最小值为 .【解答】解:延长BC交圆O于点D,连接DO,AD,过O点作OE⊥AD交于点E,∵∠ABC=30°,∴∠AOD=60°,∵AO=DO,∴△AOD是等边三角形,∵OA=4,∴AD=4,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,∵EO⊥AD,∴AE=DE,∴点C在以E为圆心,AE为半径的圆上,在Rt△DEO中,DO=4,DE=2,∴EO=2,∴CO的最小值为2﹣2,故答案为:2﹣2.16.(2022秋•溧阳市期中)如图,△ABC中,AB=4,AC=5,BC=2,以A为圆心AC长为半径作圆A,延长CB交圆A于点D,则BD长为 .【解答】解:如图,过点O作OE⊥CD,垂足为E,则CE=DE=CD,设BE=x,则CE=x+2,在Rt△ABE中,由勾股定理得,AE2=AB2﹣BE2,即AE2=42﹣x2,在Rt△ACE中,由勾股定理得,AE2=AC2﹣CE2,即AE2=52﹣(x+2)2,所以42﹣x2=52﹣(x+2)2,解得x=,即BE=,∴CE=+2=,∴CD=2CE=,∴BD=CD﹣BC=,故答案为:.17.(2022秋•启东市期中)如图,AB为⊙O的弦,半径OD⊥AB于点C.若AB=8,CD=2,则⊙O的半径长为 .【解答】解:∵⊙O的弦AB=8,半径OD⊥AB,∴AC=AB=×8=4,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣CD=r﹣2,连接OA,在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,即r2=(r﹣2)2+42,解得r=5.故答案为:5.18.(2022秋•玄武区校级期中)如图,E是⊙O的直径AB上一点,AB=10,BE=2,过点E作弦CD⊥AB,P是上一动点,连接DP,过点A作AQ⊥PD,垂足为Q,则OQ的最小值为 .【解答】解:∵AQ⊥PD,垂足为Q,∴∠AQD=90°,∴点Q在以AD为直径的圆上,连接AD,以AD为直径作⊙M,如图,连接MO并延长交⊙M于Q′,当Q点运动到Q′时,OQ的值最小,连接OD,在Rt△ODE中,∵OD=OB=5,OE=5﹣2=3,∴DE==4,在Rt△ADE中,AD==4,∴MA=MQ′=2,在Rt△AOM中,OM==,∴OQ′=MQ′﹣OM=2﹣=,∴OQ的最小值为.故答案为:.垂径定理的应用19.(2022秋•泗洪县期中)把一个球放在长方体收纳箱中,截面如图所示,若箱子高16cm,AB长16cm,则球的半径为( )cm.A.9 B.10 C.11 D.12【解答】解:设球心为O,过O点作CD⊥AB于D,交连接OB,设OB=xcm,则OD=(16﹣x)cm,BD=AD=8cm,在直角三角形ODB中,BD2+MF2=OB2,即:(16﹣x)2+82=x2,解得:x=10.故选:B.20.(2022秋•盐都区期中)如图,圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m,则拱桥的半径为( )A.9m B.10m C.12m D.13m【解答】解:设圆弧形桥拱的圆心是O,半径为rm,如图,连接OA、OD.则O、D、C三点共线,OD=(r﹣8)m,∵CD是拱高,∴OC⊥AB,∴AD=AB=12(m),在Rt△AOD中,根据勾股定理,得:r2=122+(r﹣8)2,解得:r=13,即拱桥的半径为13m,故选:D.21.(2022秋•高新区期中)如图,某圆弧形拱桥的跨度AB=20m,拱高CD=5m,则该拱桥的半径为 m.【解答】解:根据垂径定理的推论知,圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上,设圆心是O,半径是rm,连接OA.根据垂径定理,得:AD=AB=10m,在Rt△AOD中,根据勾股定理,得r2=102+(r﹣5)2,解得:r=12.5,即该拱桥的半径为12.5m,故答案为:12.5.22.(2022秋•盱眙县期中)把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知CD=4,则EF=( )A.2 B.2.5 C.4 D.5【解答】解:设球的平面投影圆心为O,过点O作ON⊥AD于点N,延长NO交BC于点M,连接OF,如图所示:则NF=EN=EF,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDNM是矩形,∴MN=CD=4,ON=MN﹣OM=4﹣2.5=1.5,在Rt△ONF中,由勾股定理得:ON2+NF2=OF2,∴NF==2,EF=2NF=4,故选:C.23.(2022秋•东台市期中)如图所示的工件槽的两个底角均为90°.尺寸如图(单位:cm),将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,则该球的半径是( )cmA.8 B.6 C.12 D.10【解答】解:设圆心为O点,连接OA、AB、OE,OE交AB于C,如图,由题意得:AB=16cm,CE=4cm,E为的中点,则OE⊥AB,∴AC=BC=AB=8(cm),设⊙O的半径为Rcm,则OC=(R﹣4)cm,在Rt△OAC中,由勾股定理得:OA2=AC2+OC2,即R2=82+(R﹣4)2,解得R=10,即该球的半径是10cm.故选:D.24.(2022秋•靖江市期中)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一
2023年数学九年级上册苏科版专题03 圆的有关性质(经典基础题6种题型+优选提升题)(解析版)
2023-11-18
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