小题精练09万有引力与航天问题公式、知识点回顾（时间：5分钟）一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量二、天体质量、密度的计算使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算 利用运行天体r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)物理量推导依据表达式最大值或最小值线速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))当r＝R时有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))当r＝R时有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))当r＝R时有最小值，约85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)当r＝R时有最大值，最大值为g轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度加速度）长周期四、卫星变轨的基本原理当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。(1)当卫星的速度增加时，Geq\f(Mm,r2)meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。【例题】（2023•浙江模拟）2022年11月底，中国空间站迎来全面建造完成关键一役。随着神舟十五号乘组3名航天员进入空间站，我国首次实现空间站6个型号舱段组合体结构和6名航天员在轨驻留的“6+6”太空会师。如图，有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，假设就是神舟十五号，卫星b处于离地约300km的轨道上正常运动，假设就是神舟十四号，c是地球同步卫星，d是某地球高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，地球表面重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）A．神舟十四号的向心加速度大于神舟十五号的向心加速度 B．同步卫星在相同时间内转过的弧长最长 C．四颗卫星中，神舟十五号离地心最近，所以它的角速度最大 D．地球高空探测卫星最高，故发射它的能量一定最大难度：★★★☆建议时间：30分钟正确率：/15（2023•金华模拟）2022年11月12日10时03分，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（ ）A． B． C． D．（2024•南充模拟）2022年7月24日，中国空间站问天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图，空间站绕地球运行轨道为圆轨道，伴随卫星绕地球运行轨道为接近圆的椭圆轨道，二者位于同一轨道平面内，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，P、Q两点与空间站轨道的高度差相等，仅考虑地球的引力作用，地球第一宇宙速度为7.9km/s，则（ ）A．当伴随卫星运行到P点时，速度比空间站的速度大 B．当伴随卫星运行到Q点时，加速度比空间站的加速度小 C．空间站的速度可能大于7.9km/s D．空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同（2024•吉林一模）2020年7月23日，我国的“天问一号”火星探测器，搭乘着长征五号遥四运载火箭，成功从地球飞向了火星.如图所示为“天问一号”发射过程的示意图，从地球上发射之后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着陆准备轨道。已知“天问一号”火星探测器在轨道半径为r的环火星圆轨道上运动时，周期为T1，在半长轴为a的着陆准备轨道上运动时，周期为T2，则下列判断正确的是（ ）A．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r2T13=a2T23 B．火星的平均密度一定大于3πGT12 C．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备椭圆轨道上运动经过交汇点A时，前者加速度较小D．“天问一号”在环火星圆轨道上的机械能小于其在着陆准备轨道上的机械能（2024•顺庆区校级一模）银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星（可视为质点）均做匀速圆周运动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ）A．乙星运动的轨道半径保持不变 B．乙星运动的角速度保持不变 C．乙星运动的线速度大小保持不变 D．乙星运动的向心加速度大小保持不变（2023•青羊区校级模拟）2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2 C．恒星B的质量为4π2(RA+RB)3GT12 D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t=T1T22(T1+T2)（2023•成都模拟）电影《流浪地球2》中的太空电梯令人震撼。太空电梯的结构设计如右图所示，地球半径约6400km，太空电梯空间站位于离地面约36000km的地球同步轨道上，其上方约54000km高度有平衡锤，空间站上、下方均用缆绳分别连接地面和平衡锤，运载仓与缆绳间的作用力可忽略。下列说法正确的是（ ）A．运载仓由地面上升至空间站的过程中始终处于失重状态 B．连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等 C．平衡锤、空间站的加速度a锤、a站与地球表面重力加速度g的大小关系为a锤＞g＞a站 D．若平衡锤下方的缆绳突然断裂，则平衡锤将做近心运动跌落至地球表面（2023•天津一模）图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T．当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（ ）A．2π7 B．1RGMR2 C．1RGMR1 D．4π2GMT2×GMR2（2024•黑龙江一模）北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，此时火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线会干扰无线电，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为T1，地球公转周期为T2，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）A．火星的第一宇宙速度小于2πRT B．太阳的质量为4π2R3GT2 C．火星的公转周期T1小于地球公转周期T2 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为T1T2T1-T2（2023•普宁市校级二模）如图，虚线I、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道I为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道I半径的2倍，则（ ）A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的2倍 B．卫星经过a点的速率为经过b点的2倍 C．卫星在a点的加速度大小为在c点的3倍 D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能（2023•佛山一模）2022年11月1日，23吨的梦天实验舱与60吨的天和核心舱组合体顺利对接，完成了中国空间站建设最后一个模块的搭建。若对接前天和核心舱组合体在距地高度380km的正圆轨道运动，运行速度略小于梦天实验舱对接前的速度，则（ ）A．对接时梦天舱和天和舱因冲击力而产生的加速度相同 B．对接前空间站内宇航员所受地球的引力为零 C．对接后空间站绕地运行速度大于第一宇宙速度 D．若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆（2023•沈河区校级模拟）我国计划在2023年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出（ ）A．月球的第一宇宙速度为gr B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为mgR22r C．月球的平均密度为3g4πGR3 D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为2πr3gR（2023•河北模拟）如图所示，