2024届东北三省四市教研联合体高三下学期一模数学答案

２０２４年东北三省四市教研联合体高考模拟（一）参考答案一、单项选择题：１．Ｄ ２．Ｂ ３．Ｄ ４．Ｄ ５．Ｃ ６．Ｄ ７．Ａ ８．Ｃ二、多项选择题：９．ＡＤ １０．ＡＢＣ １１．ＡＣＤ三、填空题：（本大题共４小题，每小题５分，共２０分，把答案填在答卷纸的相应位置上）３２ｎ＋１－１１２．５ １３．２ １４．４０；２四、解答题：１５．（本小题满分１３分）【试题解析】（１）因为ａｓｉｎＢ＝－槡３ｂｃｏｓＡ，由正弦定理可得ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝－槡３ｓｉｎＢｃｏｓＡ!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分ｓｉｎＢ≠０，所以，ｓｉｎＡ＝－槡３ｃｏｓＡ，故ｔａｎＡ＝－槡３，Ａ＝１２０°；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分（２）由题意可知Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ＝Ｓ△ＡＢＣ，１１１即ｃｓｉｎ６０°＋ｂｓｉｎ６０°＝ｂｃｓｉｎ１２０°，化简可得ｂ＋ｃ＝ｂｃ，!!!!!!!!!!９分２２２ｂ２＋ｃ２－ａ２（ｂ＋ｃ）２－２ｂｃ－ａ２１在△ＡＢＣ中，由余弦定理得ｃｏｓＡ＝＝＝－，２ｂｃ２ｂｃ２（ｂｃ）２－２ｂｃ－２０１从而＝－，解得ｂｃ＝５或ｂｃ＝－４（舍），!!!!!!!!!!!!１２分２ｂｃ２１１５３所以Ｓ＝ｂｃｓｉｎＡ＝×５ｓｉｎ１２０°＝槡．!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分△ＡＢＣ２２４１６．（本小题满分１５分）ｘ１－ｘ１【试题解析】（１）当ａ＝０时，ｆ（ｘ）＝，则ｆ′（ｘ）＝，ｆ′（１）＝０，ｆ（１）＝，ｅｘｅｘｅ１所以切线方程为ｙ＝；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分ｅ１－ｘ－ｅ２ｘ（２）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘｅ－ｘ－ｅｘ，ｆ′（ｘ）＝（１－ｘ）ｅ－ｘ－ｅｘ＝，!!!!!!!４分ｅｘ令ｇ（ｘ）＝１－ｘ－ｅ２ｘ，ｇ′（ｘ）＝－１－２ｅ２ｘ＜０，故ｇ（ｘ）在Ｒ上单调递减，而ｇ（０）＝０，因此０是ｇ（ｘ）在Ｒ上的唯一零点，即０是ｆ′（ｘ）在Ｒ上的唯一零点，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分当ｘ变化时，ｆ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表：ｘ（－∞，０）０（０，＋∞）ｆ′（ｘ）＋０－ｆ（ｘ）单调递增－１单调递减参考答案 第 １页 （共５页）{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}书ｆ（ｘ）的单调递增区间为（－∞，０）；单调递减区间为（０，＋∞），!!!!!!!!!!８分ｆ（ｘ）的极大值为ｆ（０）＝－１，无极小值；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分ｘｅ－ｘ－ｅｘ－１ｘ１（３）由题意知ｘｅ－ｘ－ａｅｘ≤ｅｘ－１，即ａ≥，即ａ≥－，ｅｘｅ２ｘｅｘ１ｅ２ｘ－２ｘｅ２ｘ１－２ｘ设ｍ（ｘ）＝－，则ｍ′（ｘ）＝＝，!!!!!!!!!!!!!!!１１分ｅ２ｘｅ（ｅ２ｘ）２ｅ２ｘ１令ｍ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝，２１１当ｘ∈－∞，，ｍ′（ｘ）＞０，ｍ（ｘ）单调递增，当ｘ∈，＋∞，ｍ′（ｘ）＜０，ｍ（ｘ）单调递减，(２)(２)１１１１所以ｍ（ｘ）＝ｍ＝－＝－，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１４分ｍａｘ(２)２ｅｅ２ｅ１所以ａ≥－．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分２ｅ１７．（本小题满分１５分）ｘ２ｙ２【试题解析】（１）双曲线３ｘ２－ｙ２＝ａ２可化为－＝１，!!!!!!!!!!!!!１分ａ２ａ２３２１１２槡３２ａ２２Ｓ△ＡＢＦ＝｜Ｆ１Ｆ２｜·｜ＡＢ｜＝（２×ａ）×＝４ａ＝１２，即ａ＝３，!!!!!!!４分１２２３３槡ａ３ｙ２双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－＝１；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分３（２）∵Ｆ２（２，０）∴设直线ｌ的方程为ｘ＝ｔｙ＋２（ｔ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｍ为ＡＢ中点，３ｘ２－ｙ２＝３联立双曲线Ｃ与直线ｌ：消去ｘ可得：（３ｔ２－１）ｙ２＋１２ｔｙ＋９＝０，{ｘ＝ｔｙ＋２－１２ｔ９因此ｙ＋ｙ＝，ｙｙ＝，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分１２３ｔ２－１１２３ｔ２－１－４－２－６ｔ进而可得ｘ＋ｘ＝，即ＡＢ中点Ｍ的坐标为，!!!!!!!!９分１２３ｔ２－１(３ｔ２－１３ｔ２－１)６ｔ２线段ＡＢ的中垂线为ｙ＋＝－ｔ（ｘ＋），!!!!!!!!!!!!!!!１０分３ｔ２－１３ｔ２－１－８８６ｔ２＋６则Ｄ（，０），即｜ＤＦ｜＝２＋＝，!!!!!!!!!!!!!１２分３ｔ２－１２３ｔ２－１３ｔ２－１２２２２－１２ｔ２９６ｔ＋６｜ＡＢ｜＝槡１＋ｔ（ｙ１＋ｙ２）－４ｙ１ｙ２＝槡１＋ｔ（２）－４２＝２，!!１４分槡槡３ｔ－１３ｔ－１３ｔ－１｜ＤＦ｜即２为定值１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分｜ＡＢ｜１８．（本小题满分１７分）１→→→→２【试题解析】（１）方法一：∵ＡＢ＝ＡＢ，∴ＡＡ·ＡＢ＝ＡＡ·ＡＤ＝２２×槡＝２，!!!１分１１２１１槡２→１→→∵ＤＡ＝－ＡＤ－ＡＡ，１２１参考答案 第 ２页 （共５页）{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}→→→→１１→→∴ＤＰ＝ＤＡ＋ＡＰ＝（１－λ）ＡＢ＋λ－ＡＤ＋（λ－１）ＡＡ，!!!!!!!!!!２分１１(２２)１→→→１１→→→→∴ＤＰ·ＡＣ＝（１－λ）ＡＢ＋λ－ＡＤ＋（λ－１）ＡＡ·（ＡＢ＋ＡＤ）１[(２２)１]→１１→→→→→＝（１－λ）ＡＢ２＋λ－ＡＤ２＋（λ－１）ＡＢ·ＡＡ＋（λ－１）ＡＤ·ＡＡ(２２)１１１１＝８（１－λ）＋８λ－＋４（λ－１）＝０，(２２)→→∴Ｄ１Ｐ⊥ＡＣ，即Ｄ１Ｐ⊥ＡＣ；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（１）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为ｈ，则有Ａ（槡２，－槡２，０），Ｂ（槡２，槡２，０），Ｃ（－槡２，槡２，０），Ｄ（－槡２，－槡２，０），槡２槡２槡２槡２槡２槡２Ａ１，－，ｈ，Ｃ１－，，ｈ，Ｄ１－，－，ｈ，Ｍ（０，槡２，０），(２２)(２２)(２２)→ＡＣ＝（－２槡２，２槡２，０），→１２２３２３２ＡＰ＝（１－λ）（０，２槡２，０）＋λ（－２槡２，０，０）＋λ－槡，槡，ｈ＝－槡λ，２２－槡λ，λｈ，２(２２)(２槡２)→３２２ＤＡ＝槡，－槡，－ｈ，１(２２)→→→３槡２３槡２３槡２３槡２Ｄ１Ｐ＝Ｄ１Ａ＋ＡＰ＝－λ＋，－λ＋，λｈ－ｈ，!!!!!!!!!!!!４分(２２２２)→→故ＡＣ·Ｄ１Ｐ＝０，所以Ｄ１Ｐ⊥ＡＣ；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）方法一：确定正四棱台的高（传统法），取ＯＣ中点Ｅ，则Ｃ１Ｅ⊥平面ＡＢＣＤ，作ＥＦ⊥ＡＭ，垂足为Ｆ，连接Ｃ１Ｆ，由三垂线定理得Ｃ１Ｆ⊥ＡＭ，所以∠Ｃ１ＦＥ为平面ＡＭＣ１与平面ＡＢＣＤ所成二面角的平面角，３３３因为ＡＢ＝２２，Ｓ＝Ｓ＝×２＝，!!!!!!!!!!!!!!!!!７分槡△ＡＭＥ４△ＡＭＣ４２１３３１０∴ＥＦ·ＡＭ＝，∴ＥＦ＝槡，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分２２１０３２１０Ｃ１Ｅ２１０ｃｏｓ∠ＣＦＥ＝，∴ｔａｎ∠ＣＦＥ＝槡，即＝槡，∴ＣＥ＝２，!!!!!!!!１０分１７１３ＥＦ３１方法二：确定正四棱台的高（空间向量）设平面ＡＢＣＤ的法向量为ｎ＝（０，０，１），→→３槡２３槡２设平面ＡＭＣ１的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），ＡＭ＝（－槡２，２槡２，０），ＡＣ１＝－，，ｈ，(２２)→－２ｘ＋２２ｙ＝０ＡＭ·ｍ＝０槡槡则有，即，{ＡＣ·ｍ＝０３槡２３槡２１－ｘ＋ｙ＋ｈｚ＝０{２２令ｘ＝２槡２ｈ，则ｍ＝（２槡２ｈ，槡２ｈ，３），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分３３由题意可得｜ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉｜＝＝，可得ｈ＝２，!!!!!!!!!!!１１分槡８ｈ２＋２ｈ２＋９７参考答案 第 ３页 （共５页）{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}２４因为λ＝，经过计算可得Ｐ０，０，，３(３)→４ＤＰ＝２，２，，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分，(槡槡３)将ｈ＝２代入，可得平面ＡＭＣ１的法向量ｍ＝（４槡２，２槡２，３），!!!!!!!!!!１５分设直线ＤＰ与平面ＡＭＣ１所成的角为θ，８＋４＋４→２４１３ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ＤＰ，ｍ〉｜＝１６＝槡．!!!!!!!!!!１７分２＋２＋３２＋８＋９９１槡９槡１９．（本小题满分１７分）１９２．２×１０－０．４【试题解析】（１）剔除第１０天数据的（ｙ）新＝∑ｙｉ＝＝２．４，９ｉ＝１９９９１＋２＋…＋９２２（ｔ）新＝＝５，(∑ｔｉｙｉ)新＝１１８．７３－１０×０．４＝１１４．７３；(∑ｔｉ)新＝３８５－１０＝２８５，９ｉ＝１ｉ＝１１１４．７３－９×５×２．４６７３所以ｂ＾＝＝，２８５－９×５２６０００６７３２２０７２２０７６７３故ａ＾＝２．４－×５＝，所以ｙ＾＝＋ｔ；!!!!!!!!!!!!!!４分６０００１２００１２００６０００（以上每个新数据求解正确，可给１分）２３２２２３１９（２）由题意可知Ｐ＝Ｐ＋Ｐ（ｎ≥３），其中Ｐ＝，Ｐ＝×＋＝，!!６分ｎ５ｎ－１５ｎ－２１５２５５５２５３２３２５将此式变形可得Ｐ－λＰ＝－λＰ＋Ｐ＝－λＰ＋Ｐ，ｎｎ－１(５)ｎ－１５ｎ－２(５)ｎ－１２ｎ－２－λ５３５３令－λ＝，解得λ＝１或λ＝－，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分２５－λ５方法一：３３３当λ＝－时，则Ｐ＋Ｐ＝Ｐ＋Ｐ（ｎ≥３），５ｎ５ｎ－１ｎ－１５ｎ－２３所以Ｐ＋Ｐ为常数列，{ｎ５ｎ－１}３１９３２３首项为Ｐ＋Ｐ＝＋×＝１，故Ｐ＋Ｐ＝１（ｎ≥２），２５１２５５５ｎ５ｎ－１３５３５将Ｐ＋Ｐ＝１（ｎ≥２）变形可得Ｐ－＝－Ｐ－（ｎ≥２），ｎ５ｎ－１ｎ８５(ｎ－１８)５５２５９３所以Ｐ－是以首项为Ｐ－＝－＝－，公比为－的等比数列，{ｎ８}１８５８４０５５９３ｎ－１９３ｎ－１５故Ｐ－＝－－，即Ｐ＝－－＋；!!!!!!!!!!!!１２分ｎ８４０(５)ｎ４０(５)８方法二：３当λ＝１时，则Ｐ－Ｐ＝－（Ｐ－Ｐ）（ｎ≥３），ｎｎ－１５ｎ－１ｎ－２参考答案 第 ４页 （共５页）{#{QQABbQwQogAgQJJAARgCQQ0ACgMQkBEAAAoOxBAMsAAACRFABAA=}#}{#{QQABZQy95gCwwJbACR5qQUk0CgkQkJOgLMoMARCOuAwCCJFABIA=}#}１９２９３所以｛Ｐ－Ｐ｝是以首项为Ｐ－Ｐ＝－＝，公比为－的等比数列，ｎｎ－１２１２５５２５５９３ｎ－２故Ｐ－Ｐ＝－（ｎ≥２）成立，ｎｎ－１２５(５)Ｐｎ－Ｐ１＝（Ｐｎ－Ｐｎ－１）＋…＋（Ｐ３－Ｐ２）＋（Ｐ２－Ｐ１）９３０３１３ｎ－２＝－＋－＋…＋－２５[(５)(５)(５)]３ｎ－２３１－－×－９(５)(５)９３ｎ－１９＝＝－－＋，２５３４０(５)４０１－－(５)９３ｎ－１９２故Ｐ＝－－＋＋Ｐ（ｎ≥２），又ｎ＝１时，Ｐ＝，ｎ４０(５)４０１１５９３ｎ－１５５３３ｎ即Ｐ＝－－＋＝＋－，!!!!!!!!!!!!!!!!１２分ｎ４０(５)８８８(５)（３）解答：５３３ｎ５３３ｎ５１９①当ｎ为偶数时，Ｐ＝＋－＝＋＞单调递减，最大值为Ｐ＝；ｎ８８(５)８８(５)８２２５５３３ｎ５３３ｎ５２当ｎ为奇数时，Ｐ＝＋－＝－＜单调递增，最小值为Ｐ＝；ｎ８８(５)８８(５)８１５１９２综上：数列｛Ｐ｝的最大值为，最小值为．!!!!!!!!!!!!!!!!!１４分ｎ２５５８②证明：对任意ε＞０总存在正整数Ｎ＝ｌｏｇ３ε＋１（其中［ｘ］表示取整函数），０[５(３)]ｎ３８ｎｌｏｇ(３ε)８５３３