皖江名校联盟2024高三5月最后一卷数学试题

2024-05-22 · 13页 · 1.1 M

姓名______座位号______(在此卷上答题无效)数学本试卷共4页,19题。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A. B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为()A. B. C. D.3.记,,,则()A. B. C. D.4.已知空间中不过同一点的三条直线,,.“,,共面”是“,,两两相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知复数满足,则下列结论正确的是()A. B. C. D.6.在二项式的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项为 B.各项的系数和为64C.第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为7.在平面直角坐标系中,已知向量与关于轴对称,若向量满足,记的轨迹为,则()A.是一条垂直于轴的直线 B.是两条平行直线C.是一个半径为1的圆 D.是椭圆8.设正数数列的前项和为,且,则()A.是等差数列 B.是等差数列 C.单调递增 D.单调递增二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.设离散型随机变量的分布列如表,若离散型随机变量满足,则()012340.10.40.20.2A. B.,C., D.,10.已知函数(,,)的部分图象如图所示,且图中阴影部分的面积为,则()A.B.点是曲线的一个对称中心C.直线是曲线的一条对称轴D.函数在区间内单调递减11.抛物线的焦点为,准线为直线,过点的直线交抛物线于,两点,分别过,作抛物线的切线交于点,于点,于点,则()A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知,则的最小值为______.13.已知三棱锥的外接球为球,为球的直径,且,,,则三棱锥的体积为______.14.“完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数,为的所有正因数之和,如,则______;______.四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知函数的最小正周期为,且函数的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数.(1)求函数的解析式,并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象;(2)在锐角中,,,分别是角,,的对边,若,求的值域.16.(15分)篮球运动深受青少年喜爱,2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布,首站比赛将于4月13日正式打响,于6月30日结束,共进行13站比赛.(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关,某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查,得到列联表如下:喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值的独立性检验,能否认为喜爱篮球运动与性别有关?(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为,则.(i)证明:数列是等比数列;(ii)判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.(15分)如图,在圆台中,,分别为上、下底面的直径,且,,为异于,的一条母线.(1)若为的中点,证明:平面;(2)若,,,求二面角的正弦值.18.(17分)已知函数,其中.(1)若曲线在点处的切线方程为,求的最小值;(2)若对于任意均成立,且的最小值为1,求实数.19.(17分)如图,各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆,其中点,分别在第三、四象限,边,与轴的交点为,.(1)若,且,为椭圆的焦点,求椭圆的离心率;(2)若是椭圆的另一内接矩形,且点也在第三象限,若矩形和矩形的面积相等,证明:是定值,并求出该定值;(3)若是边长为1的正方形,边,与轴的交点为,,设(,,…,)是正方形内部的100个点,记,其中,,,.证明:,,,中至少有两个小于81. 数学参考答案及评分标准一、二、选择题:题号1234567891011答案ABCBDACDBDABCBCD【解析】1.依题意,,因此,选项A正确2.因为双曲线的焦距为4,所以,解得,所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为,选项B正确.3.显然,,,故选项C正确.4.依题意,直线,,不过同一点,因此,若“,,两两相交”则必有“,,共面(由三个交点确定的平面)”,但若“,,共面”,有可能有两条直线平行,与第三条之间分别相交,但此时,“,,两两相交”结论错误,故选项B正确.5.因为,所以,从而,选项D正确.6.的展开式通项为,当时,常数项为,选项A正确;令,得各项的系数和为,选项B错误;展开式共7项,二项式系数最大应为第4项,故选项C错误;依题意奇数项二项式系数和为,选项D错误.7.不妨设点的坐标为,,,由可得,即,故选项C正确.8.依题意,令,解得,从而,,,易知选项D正确.9.因为,所以,A选项错误;由,而,故,因此选项B正确;又,所以,,,故C错D对.10.由题意,,,所以,即,又,所以,可得,因此.显然,函数周期为,,选项A正确;因为,所以选项B正确,,选项C正确;若,即,则,函数先减再增,D错误.11.依题意焦点的坐标为,准线为直线,不妨设,,直线的方程为,联立与,得,从而,,由题意,,,故抛物线过点,的切线方程分别为,,解得点的坐标为,故A错误;因为,所以,即点在直线上的投影是点(定点),故选项B正确;可证,,因此,即以为直径的圆与直线相切,选项C正确;对于选项D,因为,,从而,令,由函数单调性易知,,函数取最小值.D正确.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.2013.14.;.(第一空2分,第二空3分)【解析】12.依题意,,,所以,等号成立当且仅当.13.如图,易知,,作于点,易知,,,,故三棱锥的体积为.14..四、解答题:15.(13分)解:(1)函数的最小正周期,,向左平移后为偶函数,且,,故解析式为.列表如下:00100在上的图象如图所示:(2),,即,解得,即,又因为是锐角三角形,所以,故,即.16.(15分)解:(1)假设:喜爱篮球运动与性别独立,即喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据,经计算得,依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即能认为喜爱篮球运动与性别有关,从此推断犯错误的概率不超过0.001.(2)(i)由题意,,所以又,所以是以为首项,为公比的等比数列.(ii)由(i),,所以,.故甲第25次触球者的概率大.17.(15分)解:(1)证明:连接.因为,分别为上、下底面的直径,且.所以,,为圆台母线且交于一点.因此,,,四点共面.因为圆台中平面平面,平面平面,平面平面,所以,又因为,,所以,从而,即为的中点.在中,为的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.(2)以为坐标原点,,分别为,轴,过点且垂直与平面的直线为轴,建立空间直角坐标系.因为,所以,所以,,,因为,所以,故,所以,设平面的法向量为,则即,所以平面的一个法向量为.又,设平面的法向量为,所以即所以平面的一个法向量为.设二面角的大小为,则,从而,所以二面角的正弦值为.18.(17分)解:(1)①由题意,且的定义域为,依题意即从而.故,,从而函数在上单调递减,在上单调递增,所以.(2)依题意,,其中,记,则,因为,,即是的极小值也是最小值,故,而,所以,解得,此时,若,则时,,,,,即,与矛盾!若,,则当时,,单调递减,当时,,单调递增,符合题意.故.所以,其中.若即时,则函数在上最小值为,依题意,解得,符合题意;若即时,则函数在上最小值为,依题意,即,无解,不符合题意.所以,.19.(17分)解:(1)依题意,,,所以.(2)设,,由题意,矩形和矩形的面积相等,所以,即,而,(*)从而上式化为,整理可得,代入(*)式,,故,即为定值,且该定值为.(3)如图,以,的中点为焦点构造经过,,,的椭圆,对于点,连接并延长,与该椭圆交于点,连接,则.因而,中至少有一个小于81,同理,中至少有一个小于81,故,,,中至少有两个小于81.(以上答案仅供参考,其它解法请酌情赋分)

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