【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用大题01 解三角形（精选30题）（解

黄金冲刺大题01解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的周长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得【详解】（1）因为或（舍），.（2）由，结合（1）知，则，得，，，由正弦定理得的周长为.2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因为，所以.（2）由,,成等差数列可得：①.因为三角形的面积为，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周长为15.3．（2024·江苏·一模）在中，．(1)求B的大小；(2)延长BC至点M，使得．若，求的大小．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小；（2）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小.【详解】（1）在中，，所以．因为，所以，即化简得．因为，所以，．因为，所以．（2）法1：设，，则．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因为，，所以或，故或．法2：设，则，．因为，所以，因此，所以，．在中，由正弦定理得，即，化简得．因为，所以或，，故或．4．（2024·浙江温州·二模）记的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角.（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由  得，而为三角形内角，故sinB>0,得，而为三角形内角，或（2）由得，又，∴，  ，故，由（1）得，故，∴，而为三角形内角，∴.又即，又，而为三角形内角，故，.5．（2024·浙江嘉兴·二模）在中，内角所对的边分别是，已知.(1)求的值；(2)若为锐角三角形，，求的值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由，利用正弦定理边化角得，结合和，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得，即，解得或.（2）解法一：因为，由正弦定理得，即，即，因为，所以；所以，又，且为锐角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.6．（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．(1)求；(2)若面积为，求边上中线的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角；（2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案．【详解】（1），由正弦定理边化角得，，，或（舍），又，；（2），，，，，即，解得，由正弦定理，得，设边的中点为，连接，如下图：，即，即，解得．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交BC于P点，.  (1)若，求△ABC的面积;(2)若，求BP的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以.（2）因为，所以在中由余弦定理可得，所以解得，由正弦定理得，即，解得，所以，中由正弦定理得，则，解得，所以.8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．  (1)若，，求的值；(2)若，，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．【详解】（1）在中，，，则，，在中，由正弦定理得，.（2）在和中，由余弦定理得，，得，又，得，则，，四边形ABCD的面积.9．（2024·浙江·一模）在中，内角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，化简得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以（2）由，得，由，得，所以．又因为边的中点为，所以，所以10．（2024·湖北·一模）在中，已知．(1)求的大小；(2)若，求函数在上的单调递增区间．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，即，解得，又，故或．（2）由，可得，故.,令,解得.由于，取，得；取，得；取，得，故在上的单调递增区间为．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.(1)证明：是倍角三角形；(2)若，当取最大值时，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】（1）因为，又,所以，则，又由余弦定理知，，故可得，由正弦定理，,又,代入上式可得,即，，则有,故是倍角三角形.（2）因为，所以,故，则，又，又，则,则,设，，则令得或者（舍），且当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，此时也取最大值，故为所求.12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.(1)若，，求的面积；(2)若，求的最大值.【答案】(1)4；(2).【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.在中，，则，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）设，.又，所以.因为，所以.在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解.【详解】（1）在中，，，所以，由余弦定理可得，，即，又，所以，在中，由正弦定理可得，得，因为，所以，所以.（2）在中，，所以，所以，四边形ABCD的面积，当时，，即四边形ABCD面积的最大值为.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角的三内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理将化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1），由余弦定理可得，化简整理得，又，，又，所以.（2）因为三角形外接圆半径为，所以，，，由（1）得，所以，因为是锐角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范围为.15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，且的周长为．(1)求；(2)若，，为边上一点，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出，再求出的面积.【详解】（1）在中，，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由为边上一点，及（1）得，且，即有，则，解得，所以的面积.16．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，（Ⅰ）当，且时，求AC的长；（Ⅱ）当，且时，求的面积．【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值；（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，又，所以，因为为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；（2）（Ⅰ）此时，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）设，由，可得，化简可得有，由于，所以，所以，则．17．（2024·广东广州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求的周长.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长.【详解】（1）由，则，又，故.（2）由（1）可知，，又，则；由题可知，，故，所以，因为，所以，，在中，，故的周长为.18．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因为，化简可得，而，则，又，则（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，设，由余弦定理，，可得，，因此，当且仅当时，即等号成立，所以的最大值为，此时.19．（2024·河北石家庄·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，.(1)求函数的最大值;(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】（1）因为，所以，所以当，即时，有最大值；（2）因为，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得：，所以，，又因为，所以，所以，由余弦定理有：，即，所以，所以．20．（2024·广东·一模）设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若点在上（与不重合），且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用即可求出结果；（2）根据题设得到，进而可求得，，再利用，即可求出结果.【详解】（1）由，得到，又，所以，又三角形为锐角三角形，所以，得到，即.（2）因为，又，所以，则，所以，由（1）知，，则，，则，又，所以.  21．（2024·辽宁·二模）在中，为边上一点，，且面积是面积的2倍．(1)若，求的长；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出的表达式，最后根据正弦定理求出的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设边上的高为，垂足为，因为面积是面积的2倍，所以有，设，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由