专题50圆锥曲线的最值【方法点拨】综合运用函数知识、向量、基本不等式等求解圆锥曲线中的最值问题.【典型题示例】例1已知,P为抛物线上任一点,则的最小值为.【答案】【分析】直接设点P的坐标,转化为的二次函数即可解决.【解析】设点P的坐标则当且仅当,即当点P的坐标时,取得最小值为.例2已知点M(0,4),点P在曲线上运动,点Q在圆上运动,则的最小值是(). B. C.4 D.6【答案】C【分析】因为,故,再使用定义将转化为到准线的距离,设出点坐标,使用基本不等式求解.【解析】因为,故设,则所以设,则当且仅当,等号成立所以的最小值是4.例3已知点在椭圆上运动,点在圆上运动,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出点到圆心的距离的最小值,然后减去圆的半径可得答案【解析】设点,则,得,圆的圆心,半径为,则,令,对称轴为,所以当时,取得最小值,所以最小值为,所以的最小值为,故选:D.例4已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为A,点P是抛物线上的动点,则当|PF||PA|的值最小时,△PAF的内切圆半径为( )A.2−2 B.2 C.1 D.1−22【答案】A【分析】本题考查了抛物线的性质,直线与圆锥曲线的位置关系.设P到准线的距离为PQ,根据抛物线的性质可知|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.从而当∠PAQ最小,即AP与抛物线相切时,|PF||PA|的值最小.求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标,代入面积公式得出面积.【解析】抛物线的准线方程为x=−1.设P到准线的距离为|PQ|,则|PQ|=|PF|.∴|PF||PA|=|PQ||PA|=sin∠PAQ.∴当PA与抛物线y2=4x相切时,∠PAQ最小,即|PF||PA|取得最小值.设过A点的直线y=kx+k与抛物线相切(k≠0),代入抛物线方程得k2x2+(2k2−4)x+k2=0,∴Δ=(2k2−4)2−4k4=0,解得k=±1.即x2−2x+1=0,解得x=1,把x=1代入y2=4x得y=±2.∴P(1,2)或P(1,−2).∴S△PAF=12|AF|⋅|yP|=12×2×2=2.所以AP=22,AF=2,PF=2,设△PAF的内切圆半径为r所以1222+2+2r=2,所以r=2−2.故选A. 例5已知A、B是圆C1:x2+y2=10上的动点,AB=42,P是圆C2:x−62+y−82=1上的动点,则PA+3PB的取值范围是__________.【答案】[28,52]【分析】本题的关键是将所求PA+3PB转化为一个向量,这里设PA+3PB=4PE(想一想,这里为什么将系数确定为4,而非其它数?其主要目的在于利用三点共线,使点E在线段AB上,这是遇到两向量和、差的模的常用的策略,其目的仍是化繁为简、合二为一),从而由|PA+3PB|化简得4PE,进一步可求得C1E=2,故E点的轨迹为圆,最终转化成两圆上的点间的距离问题即可求解.【解析】设PA+3PB=4PE,则14PA+34PB=PE,取AB中点为D,再取BD中点为E,则由AB=42,得C1D=10−8=2,DE=2,所以C1E=2,即E点的轨迹方程为x2+y2=4.|PA+3PB|=|PA+PB+2PB|=2PD+2PB=2PD+PB=4PE.由于P点在圆 C2:x−62+y−82=1上,所以C1C2=10,所以C1C2−1−2≤PE≤C1C2+1+2,即PE∈[7,13],所以|PA+3PB|=4PE∈[28,52].故答案为[28,52]. 【巩固训练】1.面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为.2.抛物线y2=8x的焦点为F,点A是抛物线上的动点,设点B(−2,0),当|AF||AB|取得最小值时,则( )A.AB的斜率为±23;B.|AF|=4C.ΔABF外接圆的面积为8π;D.ΔABF内切圆的面积为(24−162)π3.已知F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,若PF22PF1的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围为________.4.过抛物线y2 = 4x焦点的直线l与抛物线交于 A ,B两点,与圆( x −1)2 + y2 = r2 交于C,D两点,若有三条直线满足AC = BD,则r的取值范围为.【答案或提示】1.【答案】-1或【提示】设点,转化为函数解决.2.【答案】BCD【分析】由题意利用抛物线的定义可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC,当|AF||AB|取得最小值时,AB与抛物线相切,再联立直线与抛物线方程,由此可得|AB|,|BF|,|AF|的值,即可分析各选项.【解析】由题意,过点A作准线的垂线,垂足为C,点B即为抛物线的准线与x轴的交点,由抛物线的定义可得|AF||AB|=|AC||AB|=sin∠ABC,当|AF||AB|取得最小值时,即sin∠ABC取得最小值,也即∠ABC取得最小值,此时AB与抛物线相切,设AB的方程为y=k(x+2),则y2=8xy=k(x+2)(∗),消去y可得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,则Δ=(4k2−8)2−4k2·4k2=0,解得k=±1,不妨设k=1,代入(∗)中解得点A的坐标为(2,4),可得△ABF为等腰直角三角形,|AB|=[2−(−2)]2+(4−0)2=42,|BF|=|AF|=4,设△ABF外接圆的半径为R,由直角三角形的性质可知,R=22,所以ΔABF外接圆的面积为π×222=8π,设△ABF内切圆的半径为r,则12(|AB|⋅r+|AF|⋅r+|BF|⋅r)=12×4×4,解得r=1642+8=4−22,当k=−1,结果仍有r=1642+8=4−22,∴△ABF的内切圆的面积为S=π×(4−22)2=(24−162)π.故选BCD.3.【答案】1,3【分析】由双曲线的定义得PF2−PF1=2a,又PF22PF1的最小值为8,则PF22PF1=(PF1+2a)2PF1=PF1+4a2PF1+4a,再利用基本不等式即可得PF1+4a2PF1+4a⩾2PF1⋅4a2PF1+4a=8a,其中PF1=2a时等号成立,再设P(x,y)(x≤−a),则由双曲线第二定义,PF1=−x−a2ce=−ex−a≥c−a,又2a≥c−a,e=ca≤3,又因为e>1,即可求解离心率的取值范围.【解析】因为PF2−PF1=2a,所以PF22PF1=(PF1+2a)2PF1=PF1+4a2PF1+4a≥2PF1⋅4a2PF1+4a=8a, (∗)其中PF1=2a时等号成立.又设P(x,y)(x≤−a),则由第二定义,得PF1=−x−a2ce=−ex−a≥c−a.要使(∗)式中等号成立,则必须2a≥c−a,所以e=ca≤3,又因为e>1,所以1
妙解高考数学填选压轴题专题50 圆锥曲线的最值-妙解高考数学填选压轴题
2023-11-19
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