妙解高考数学填选压轴题专题05 与函数的对称性相关的零点问题-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-19 · 10页 · 312 K

专题05与函数对称性相关零点问题【方法点拨】若单调奇函数f(x)满足f(a)+f(b)=0,则a+b=0.一般的,若单调函数f(x)关于点(m,n)对称,且满足f(a)+f(b)=2n,则a+b=2m.对于具有对称性的函数零点问题,要注意检验充分性,以防增解.对称性的三个常用结论:(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=eq\f(a+b,2)对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2),0))对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2),\f(c,2)))对称.【典型题示例】例1若函数存在个零点,则所有这些零点的和等于_____________.【答案】【解析】设,则为奇函数,其图象关于坐标原点对称所以的图象关于点(1,0)对称,故其与x轴的交点也关于点(1,0)对称所以的所有零点的和等于.例2设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则()A.0B.7C.14D.21【答案】D【分析】根据函数值之和求自变量之和,很自然会去考虑函数的性质,而等式常常考查对称性,从而尝试去寻求函数的对称中心.函数可以视为由与构成,它们的对称中心不一样,可以考虑对函数的图象进行平移,比如,引入函数,则该函数是奇函数,对称中心是坐标原点,由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称.【解析】∵是公差不为0的等差数列,且∴∴∴例3函数,是自然对数的底数,存在唯一的零点,则实数的取值范围为 A., B. C., D.【答案】A【分析】分离函数,零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题,再使用函数的对称性解决.【解析】函数,是自然对数的底数,存在唯一的零点等价于:函数与函数只有唯一一个交点,(1),(1),函数与函数唯一交点为,又,且,,在上恒小于零,即在上为单调递减函数,又是最小正周期为2,最大值为的正弦函数,可得函数与函数的大致图象如下图:要使函数与函数只有唯一一个交点,则(1)(1),(1),(1),,解得,又,实数的范围为,.故选:.例4已知函数有唯一零点,则a=()A. B. C. D.1【答案】C【分析】如果利用导数研究的零点,就会小题大做,容易陷入困难.由函数与方程思想,函数的零点满足.设,显然是由函数向右平移一个单位而得到,易知是偶函数且在上是增函数.故关于直线对称,且在上是增函数,在上是减函数,.设,显然关于直线对称,顶点为.若,则函数关于直线对称,且在上是减函数,在上是增函数,最大值为,.若的图象与的图象有一个公共点A,根据对称性必有另一个公共点B.所以,不合题意;若,函数关于直线对称,且在上是增函数,在上是减函数,最小值为.若的图象与的图象只有一个公共点,必有,得.【解析一】,令则易知是偶函数,所以图象关于直线对称,欲使有唯一零点,必有,即,所以.【解析二】 x2-2x=-a(ex-1+e-x+1),设g(x)=ex-1+e-x+1,g′(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-eq\f(1,ex-1)=eq\f(e2(x-1)-1,ex-1),当g′(x)=0时,x=1,当x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数取得最小值-1,作出-ag(x)与h(x)的大致图象如图所示.若-a>0,结合选项A,a=-eq\f(1,2)时,函数h(x)和-ag(x)的图象没有交点,排除选项A;当-a<0时,-ag(1)=h(1)时,此时函数h(x)和-ag(x)的图象有一个交点,即-a×2=-1⇒a=eq\f(1,2),故选C.例5已知关于x的方程有唯一解,则实数a的值为________.【答案】1【分析】利用隐藏的对称性,易得f(0)=0,求得a=1或a=-3,再利用数形结合,将增解舍弃.【解析】通过对函数f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3的研究,可发现它是一个偶函数,那么它的图象就关于y轴对称,若有唯一解,则该解必为0.将x=0代入原方程中,可求得a=1或a=-3.这就意味着,当a=1或a=-3时,原方程必有一解0,但是否是唯一解,还需进一步验证.当a=1时,原方程为x2+2log2(x2+2)-2=0,即2log2(x2+2)=2-x2,该方程实数根的研究可能过函数y=2log2t和函数y=4-t的交点情况来进行,不难发现,此时是符合题意的;而当a=-3时,原方程为x2-6log2(x2+2)+6=0,即x2+6=6log2(x2+2).通过研究函数y=4+t和y=6log2t可以发现,此时原方程不止一解,不合题意,需舍去.点评:f(0)=0仅是函数存在零点的必要条件,要注意检验充分性,一般是代入检验进行取舍.【巩固训练】1.已知函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=lnx-ax,若函数f(x)恰有5个零点,则实数a的取值范围是.2.若函数的零点有且只有一个,则实数.3.若函数f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.4.已知函数,,则函数零点的个数所有可能值构成的集合为.5.函数的图象与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.86.已知函数满足,若函数与图象的交点为则()A.0B.mC.2mD.4m7.已知实数x、y满足,则的值是.8.圆与曲线相交于点四点,为坐标原点,则_______.9.已知函数,函数有唯一零点,则实数的值为______.10.函数的所有零点之和为().A0B.2C.4 D.611.已知函数有唯一零点,则a=()A4B.2C.-2D.-412.(2022·江苏常州·模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=eq\f(x+1,x)与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i=1))(xi+yi)等于( )A.0 B.m C.2m D.4m【答案与提示】1.【答案】(0,e)【提示】分离函数,问题即为x>0时,h(x)=lnx与g(x)=ax的图象恰有2个交点,利用导数求出当a=e时,相切为临界值.2.【答案】【提示】同例4,利用f(x)=0,求得,而当时,不满足题意,应舍去.3.【答案】m=2【提示】发现f(x)是偶函数,故得到f(0)=0,立得m=2或m=-4,难点在于对m=-4的取舍问题.思路有二,一是“分离函数”,利用“形”助数;二是利用导数知识,只需当x>0时,函数恒增或恒减即可.4.【答案】{0,1,2,4}【提示】见例3.5.【答案】B【提示】根据对称性易得答案.6.【答案】B【分析】该题设计抽象函数关于点成中心对称,函数由奇函数向上平移一个单位得到,也关于点成中心对称,因而两函数图象的交点为也关于点成中心对称,,考虑倒序相加法,可得,,故.7.【答案】2020【提示】两边取自然对数得设,则易得其为上的单增奇函数所以,故.8.【答案】【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3,2)对称,利用三角形中线的向量表示,将所求转化即可.【解析】由圆方程,可得,圆心坐标为(−3,2),其对称中心为(−3,2).在同一直角坐标系中,画出圆和函数图像如右图所示:数形结合可知,圆和函数都关于点M(−3,2)对称,故可得其交点A和C,B和D都关于点M(−3,2)对称.故,所以.9.【答案】或10.【答案】A11.【答案】C【提示】函数关于直线x=2对称,故必有f(2)=0.12.【答案】B【解析】 ∵f(x)+f(-x)=2,y=eq\f(x+1,x)=1+eq\f(1,x).∴函数y=f(x)与y=eq\f(x+1,x)的图象都关于点(0,1)对称,∴eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i=1))xi=0,eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i=1))yi=eq\f(m,2)×2=m.

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐