专题45利用方程同解求圆的方程【方法点拨】当圆与另一曲线(如抛物线)有两个公共点求圆的方程时,可考虑将曲线方程分别与直线方程联立消元,根据函数与方程的关系,则两方程同解,故可利用系数成比例求解圆的方程.【典型题示例】例1(多选题)已知二次函数交轴于,两点(,不重合),交轴于点.圆过,,三点.下列说法正确的是()①圆心在直线上;②的取值范围是;③圆半径的最小值为1;④存在定点,使得圆恒过点.A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】①因为二次函数的对称轴是,且,两点关于对称,所以圆心在直线上,故正确;②因为二次函数交轴于,两点,所以解得且,故错误;③设圆的方程为,(#)令,则则为方程的两个根∵与轴交于,两点∴为方程的两个根故方程与方程的根相同∴,,代入)又∵在圆上∴,解得所以所求圆的方程为.即故,因为且,所以,故错误;④圆M的方程为,即,则圆恒过定点,故正确;故选:AD.例2(多选题)在平面直角坐标系中,设二次函数的图象与直线有两个不同的交点,经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是()A.且B.当时,为钝角C.圆:(且)D.圆过定点【解析】对于A,联立,消可得,二次函数与直线有两个交点,则,解得,又,故A正确;对于B,联立消可得,设,,则,,则当时,,所以为锐角,故B错误;对于C,设圆的方程为(因为圆过,故),由,消可得,故为方程的两个根由,消可得即故为方程的两个根所以与为同一方程故有,解得所以圆的方程为(且,故C正确;对于D,由C:(且),整理可得,方程过定点则,解得,所以圆过定点,故D正确;故选:ACD.【巩固训练】1.在平面直角坐标系中,经过三点的圆的方程为.2.在平面直角坐标系中,记二次函数()与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为,则圆经过定点(其坐标与的无关).3.已知圆C过点,,它与x轴的交点为,,与y轴的交点为,,且,则圆C的标准方程为___________.4.已知曲线与轴交于两点,与轴交于点,则外接圆的方程为()A.B.C. D.【答案或提示】1.【答案】【解析】设所求圆的一般式方程为,令,得,则0,2是方程的两个根,所以,所以圆的一般方程为将代入,得,所以圆的一般方程为.2.【答案】【解析】设所求圆的一般方程为令=0得这与是同一个方程,故D=2,F=.令=0得,此方程有一个根为b,代入得出E=―b―1.所以圆C的方程为.分离参数得:(*)令=0,得抛物线与轴交点是(0,b);令,由题意b≠0且Δ>0,解得b<1且b≠0.为使(*)式对所有满足的都成立,必须有,结合(*)式得,解得经检验知,点均在圆C上,因此圆C过定点.3.【答案】【解析】设圆C的一般式方程为,令,得,所以,令,得,所以,所以有,所以,①又圆C过点,,所以,②,③,由①②③得,,,所以圆C的一般式方程为,标准方程为.4.【答案】A【解析】设外接圆的方程为,(#)令,则则为方程的两个根∵与轴交于两点∴为方程的两个根故方程与方程的根相同∴,,代入(#)又∵在圆上∴,解得所以所求圆的方程为.
妙解高考数学填选压轴题专题45 利用方程同解求圆的方程-妙解高考数学填选压轴题
2023-11-19
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