妙解高考数学填选压轴题专题53 数列奇偶项问题-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-19 · 8页 · 402.1 K

专题53数列奇偶项问题【方法点拨】定义在数列中,若任意,存在且,都有(为常数),则称数列是“隔项成等差”数列.类型1:由,两式相减得,这就得到“隔项成等差”数列,特别的,当时,数列为周期数列.类型2:由,两式相减得,这样,类型2就转化为类型1了,所不同的是不包含首项.类型3:对赋值,有,通过加减可得,从而,所以,这就得到“隔项成等差”数列.【典型题示例】例1数列满足,且.记数列的前项和为,则当取最大值时为 A.11 B.12 C.11或13 D.12或13【答案】【解析】设,由,可得,,,,,,,,可得,可得,则数列的奇数项为首项为,公差为1的等差数列;偶数项为首项为,公差为的等差数列,且每隔两项的和为9,7,5,3,1,,,为递减,可得,,,,,,则当取最大值时或13.例2设数列的前项和为,已知,则_______.【答案】-2【解析】由得,两式相减得,即,所以两式相减得,又将代入得,所以.例3数列满足,前16项和为540,则______________.【答案】【分析】对为奇偶数分类讨论,分别得出奇数项、偶数项的递推关系,由奇数项递推公式将奇数项用表示,由偶数项递推公式得出偶数项的和,建立方程,求解即可得出结论.【解析】,当为奇数时,;当为偶数时,.设数列前项和为,,.点评:本题综合考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和、分类讨论思想和数学计算能力.例4已知数列的前项和为,且,,则()A.200 B.210 C.400 D.410【答案】B【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用等差数列的前项和公式的应用求出结果.【解析】由题,,又因为所以当时,可解的当时,,与相减得当为奇数时,数列是以为首相,为公差的等差数列,当为偶数时,数列是以为首相,为公差的等差数列,所以当为正整数时,,则.故选B.【巩固训练】1.数列满足,则其前项和为________.2.已知数列的前项和为,,,则.3.设为数列的前n项和,则(1)_____;(2).4.已知数列的前项和为,对任意,且恒成立,则实数的取值范围是.5.各项均为正数的数列的前n项和为,且,则.6.设数列满足,数列前n项和是,对任意的,,若,当n是偶数时,的表达式是___________.7.若数列满足,且数列的前项的和总满足(其中为常数),则数列的通项公式是.8.若数列满足,且,若数列单调递增,则的取值范围为.9.已知数列的首项,且满足,则=________.【答案或提示】1.【答案】1830【解析】由,可得,,,,,,···,所以,,,,,,···,所以从第一项起,每四项的和构成以10为首项,16为公差的等差数列所以前项和为.2.【答案】【提示】奇偶项分别成等差数列.3.【答案】;【解法一】∵∴当时,两式相减得,即当是偶数时,,所以,即是奇数时,;当是奇数时,,,即当是偶数时,.∴.【解法二】∵∴当是偶数时,,,即当是奇数时,;当是奇数时,,,即当是偶数时,;.4.【答案】【解析】当时,当时,,所以当为偶数时,;当为奇数时,,即,.所以.当为偶数时,,当为奇数时,又因为恒成立,,所以.5.【答案】【解析】∵∴()两式相减得,即又因为的各项均为正数,所以()当时,由得,所以故是以为首项,公差为的等差数列∴.6.【答案】【解析】:,因为,所以,即,所以数列中所有的奇数项成等比数列,所有的偶数项成等比数列,所以当n是偶数时,的表达式是.7.【答案】8.【答案】9.【答案】512【分析】利用已知将n换为n+1,再写一个式子,与已知作比,得到数列的各个偶数项成等比,公比为2,再求得,最后利用等比数列的通项公式即可得出.【解析】∵anan+1=2n,()∴an+1an+2=2n+2.()∴,(),∴数列的各个奇数项成等比,公比为2,数列的各个偶数项成等比,公比为2,又∵anan+1=2n,(),∴a1a2=2,又,∴,可得:当n为偶数时,∴a20=1•29=512.故答案为512.

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