妙解高考数学填选压轴题专题21 有关等高线求值、求范围问题-妙解高考数学填选压轴题

专题21有关等高线求值、求范围问题【方法点拨】函数在两点或两点以上点处的函数值相等,我们称之为等高线,此类题常以求取值范围的形式出现,其基本方法是”减元”,即充分利用函数值相等这一条件实施”消元”.对于函数，若存在正数，满足，则，且.等高线问题重在”减元”,要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.【典型题示例】例1(2022·新高考I·22改编)已知函数和，存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标分别为，则．【答案】2【分析】由“等高”得，即，这样就建立间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出、两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到，，代入求解即得解.【解析】令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.令得所以函数在上为减函数，在上为增函数，且.故函数和有相同的最小值1如下图所示，当直线过函数和的交点时，满足题意，此时，故由，得即一方面，而所以又因为，，且在上为减函数所以，所以另一方面，由，同理可得所以再由和得据果移项得，所以综上，.例2设函数，若互不相等的实数a，b，c满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．【详解】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．故选：D．例3已知函数，方程有四个不相等的实数根，，，，则的最小值为 ．【答案】50【分析】设<<<，则，，，且令则故当时，所以的最小值为50.例4已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________.【答案】【分析】由得（），即，代入，设，问题转化为求取值范围问题，利用导数知识易得.【解析】作出函数的图像如下图所示：若存在实数满足，根据图像可得，所以，即，则，令，当时，，在区间上单调递增，，，所以，即.例5已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.【解析】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，则有，是方程的两个根，必有，，是方程的两个不等根，则，，整理得，即，由得：或，因此有，，则有，，而函数在上单调递减，从而得，于是得，所以的取值范围是.故选：D【巩固训练】1.(多选题)已知函数，若，且，则下列结论正确的是 A． B． C． D．2.已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的最小值为 A．B．1C． D．无最小值3.已知函数存在三个互不相等的正实数a,b,c且a