妙解高考数学填选压轴题专题14 二元不等式恒成立问题-妙解高考数学填选压轴题

专题14二元不等式恒成立问题【方法点拨】1.对于“双参求一参数范围问题”宜采取变更主元法，如例1、例2，此类题目的特征是：含有双参数而问题是求其中一个参数的取值范围，只需将另一参数视为“主元”，求出最值即可.2.对于“或求有关的代数式取值范围”型，利用几何意义，转化为比较零点来处理.【典型题示例】例1若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是 ．【答案】（﹣∞，﹣2）【分析】本题的特征是，较一般的不等式恒成立问题，增加了一个变量，一般是关于该变量的“一次式”，其解法是：变更主元，先看作“一次变量”的恒成立问题即可.【解析】先视为以b为主元的函数，设f(b)=b+(x3﹣3x2+ax)则f(b)为关于b的一次函数，在b∈[2，4]上增，为使f(b)＜0恒成立只需f(4)＜0，即x3﹣3x2+ax+4＜0再考虑x3﹣3x2+ax+4＜0在x∈[1，3]恒成立分离参数可得：a＜3x﹣x2−4x，设g（x）＝3x﹣x2−4x，x∈[1，3]，故a＜g（x）的最小值由g′（x）＝3﹣2x+4x2，可得1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；2＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减，又g（1）＝﹣2，g（3）=−43，可得g（x）在[1，3]的最小值为﹣2，∴a＜﹣2，故实数a的范围是（﹣∞，﹣2）．例2已知函数，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】【解析】由在恒成立，整理得对任意恒成立，所以应有恒成立，即对恒成立．设，则，令，得或，列表如下：8000极小值极大值，所以在的最小值为，又，，所以实数的取值范围是．例3已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为．【答案】ln3－eq\F(1,3)．【分析】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图象，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图象可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝eq\F(1,3)，从而b＝ln3－eq\F(1,3)．例4若恒成立，则的取值范围是 ．【答案】【分析】取对数，化双曲为“一直一曲”，解法同例3.【解析】对两边取自然对数得故，所以的取值范围是．例5已知，若恒成立，则的取值范围是 ．【答案】【分析】所求，为了出现，将变形为，此时的几何意义是直线在x轴上的截距即函数的零点，根据图象可知，当时，曲线在任意一点的切线的零点都不小于曲线的零点，即，所以，的取值范围是．点评：对于或型恒成立，求有关的代数式取值范围问题的解题步骤是：判断函数的凸凹性（当时，函数为凹函数；当时，函数为凸函数），从而得出因凸凹的不同，切线在曲线的上下的不同；凑配条件中的参数系数，求曲线和切线的零点，比较零点的大小即可.例6已知，若不等式恒成立，则的最小值是．【答案】【分析】问题转化为，设、，则两函数左右两侧的凸凹性相反，从形上看，若（）固定不变，当变大时，抛物线的开口程度越大，此时越小，欲求使恒成立时的最小值，则两函数图象相切即为“临界状态”；另一方面，，函数的零点为、，故的几何意义是函数的一个零点，零点的最大值即的图象与轴交点运动到最优时，从形上看不能知道，零点即“公切点”时满足题意.【解析】设、则函数的零点即为两函数的“公切点”时满足题意令得，，所以，即，此即为所求的最小值．【点评】本题解法的实质是，构造的两函数的零点相同.本题也可转化为再利用“形”来求解.【巩固训练】1.若不等式，对任意，恒成立，则实数的取值范围为___________.2.设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围为___________.3.设、均为实数，已知函数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；4.已知，若恒成立，则的取值范围是 ．5.已知直线与曲线相切，则的最小值是（）．A.B.C.D.6.若不等式对于任意恒成立，则的最大值是（）．A.B.C.D.7.已知为自然对数的底数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案与提示】1.【答案】2.【答案】．3.【分析】变更主元、分离参数，可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出的范围，【解析】由，得，由于，所以对任意的及任意的恒成立．由于，所以，所以对任意的恒成立．设，，则，所以函数在，上单调递减，在2，上单调递增，所以2，所以2．4.【答案】【提示】如图中，同例3，易得.5.【答案】C6.【答案】C【提示】将变形为即可.7.【答案】B