抛物线必会十大基本题型专题09抛物线与平面向量的交汇问题(原卷版)

2023-11-19 · 7页 · 455 K

抛物线必会十大基本题型讲与练09抛物线与平面向量的交汇问题典例分析类型一、以向量为问题情景1.已知是抛物线:上一点,且位于第一象限,点到抛物线的焦点的距离为4,过点向抛物线作两条切线,切点分别为,,则(       )A. B.1 C.16 D.2.已知抛物线,P为直线上一点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则的最小值为(       )A. B.-1 C. D.-23.已知抛物线:(),直线交于A、B两点.(1)若当时,,求p的值;(2)如图,(i)若,求面积的最小值.(ii)抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D,AC和BD交于G,.证明:存在实数,使得.类型二、以向量为条件情景1.已知抛物线的准线交轴于点,过点作直线交于,两点,且,则直线的斜率是(       )A. B. C. D.2.已知抛物线,过点的直线l与抛物线C交于A,B两点,若,则直线l的斜率是(       )A. B.3 C. D.63.已知以F为焦点的抛物线上的两点A,B(点A的横坐标大于点B的横坐标),满足(O为坐标原点),弦AB的中点M的横坐标为,则实数(       )A. B. C.3 D.44.(多选题)已知抛物线C:(>0)的焦点F与圆的圆心重合,直线与C交于两点,且满足:(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合),则(       )A. B.直线恒过定点C.A、B中点轨迹方程: D.面积的最小值为16类型三、以向量为解题工具1.直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点,O是抛物线的顶点,则的大小可以是(       )A. B. C. D.2.已知抛物线C:,直线l:交抛物线C于P,Q两点,且OP⊥OQ,则抛物线C的方程为____________.3.已知抛物线的焦点为,点F关于直线的对称点为M,过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,当时,直线PQ的斜率为___________.4.已知点F为抛物线的焦点,点在抛物线C上,且,直线交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线交抛物线C于M,N两点,直线AM与BN交于点T,求证:点T在定直线上.巩固练习1.已知抛物线的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则(       )A. B.2 C. D.2.已知抛物线的焦点为,过点且倾斜角为的直线与抛物线交于(位于第一象限)、两点,直线与交于点,若,则(       )A. B. C. D.3.已知是抛物线的焦点,是抛物线的准线,点,连接交抛物线于点,,则的面积为(       )A.4 B.9C. D.4.已知抛物线:的焦点为,、、为抛物线上三点,当时,称为“特别三角形”,则“特别三角形”有(       )A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个5.已知抛物线的焦点为F,过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点,,,若,满足,,且,则(       ).A.6 B.4 C.3 D.26.已知抛物线上一点,F为焦点,直线FA交抛物线的准线于点B,满足,则(       )A. B. C. D.7.(多选题)已知抛物线的焦点为F,准线l交x轴于点D,直线m过D且交C于不同的A,B两点,B在线段AD上,点P为A在l上的射影.线段PF交y轴于点E,下列命题正确的是(       )A.对于任意直线m,均有AE⊥PFB.不存在直线m,满足C.对于任意直线m,直线AE与抛物线C相切D.存在直线m,使|AF|+|BF|=2|DF|8.(多选题)抛物线焦点为,直线经过点交于两点,交轴于点,若,则(       )A.B.点的坐标为C.D.弦的中点到轴的距离为9.(多选题)已知抛物线的焦点为F,直线与抛物线C交于M,N两点,且,,则的取值可以为(       )A. B. C.2 D.310.(多选题)已知抛物线的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A,B两点(A在第一象限),交抛物线C的准线于点D,若,,则以下结论正确的是(       )A. B.直线l的倾斜角为C. D.以为直径的圆与抛物线C的准线相切11.(多选题)已知抛物线的焦点为,直线经过点交于A,两点,交轴于点,若,则(       )A. B.点的坐标为C. D.弦的中点到轴的距离为12.(多选题)已知椭圆,过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,连接并延长分别交于两点,连接,则下列结论中,正确的为(       )A. B.的面积是定值C.定值 D.设,则13.已知过点的直线与抛物线交于不同的A,B两点,以A,B为切点的两条切线交于点N,若,则p的值为__________.14.已知抛物线:()的焦点F与圆的圆心重合,直线与C交于、两点,且满足:(其中为坐标原点且A,均不与重合),对于下列命题:①,;②直线恒过定点;③A,中点轨迹方程:;④面积的最小值为16.以上说法中正确的有______.15.已知抛物线的焦点为F,M是抛物线C上一点,若FM的延长线交x轴的正半轴于点N,交抛物线C的准线l于点T,且,则________.16.直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,与其准线交于点C,若,则直线l的斜率为______.17.已知F是抛物线的焦点,抛物线C上的点满足,若在准线上的射影分别为,且的面积为5,则_______18.已知直线上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且,记点P的轨迹为,(1)求曲线的方程;(2)已知圆,若、在交点处的切线相互垂直,求a的值.19.过抛物线的焦点的直线交抛物线于A和B两点,过A和B两点分别作抛物线的切线,两切线交于点E.(1)求证:.(2)若,求的面积的取值范围.20.已知椭圆的离心率为,且经过点,椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4.(1)求椭圆C和抛物线E的方程;(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A,B两点,与椭圆C相交于M,N两点,O为坐标原点,若,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上,且,直线AB过抛物线E的焦点F.(1)若四边形ABCD为等腰梯形,求;(2)若直线AD与直线BC的交点为,求实数的值.22.已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,.(1)证明:A,B的纵坐标之积为定值;(2)若,求此时直线l的方程.

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