抛物线必会十大基本题型专题09抛物线与平面向量的交汇问题（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练09抛物线与平面向量的交汇问题典例分析类型一、以向量为问题情景1．已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（       ）A． B．1 C．16 D．2．已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（       ）A． B．-1 C． D．-23．已知抛物线：（），直线交于A、B两点.(1)若当时，，求p的值；(2)如图，（i）若，求面积的最小值.（ii）抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D，AC和BD交于G，.证明：存在实数，使得.类型二、以向量为条件情景1．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于，两点，且，则直线的斜率是（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（       ）A． B．3 C． D．63．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（       ）A． B． C．3 D．44．（多选题）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则(       )A． B．直线恒过定点C．A、B中点轨迹方程： D．面积的最小值为16类型三、以向量为解题工具1．直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A､B两点，O是抛物线的顶点，则的大小可以是（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线C：，直线l：交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为____________.3．已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.4．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．巩固练习1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（       ）A． B．2 C． D．2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于（位于第一象限）、两点，直线与交于点，若，则（       ）A． B． C． D．3．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（       ）A．4 B．9C． D．4．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个5．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（       ）．A．6 B．4 C．3 D．26．已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（       ）A． B． C． D．7．（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（       ）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|8．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则(       )A．B．点的坐标为C．D．弦的中点到轴的距离为9．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（       ）A． B． C．2 D．310．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点（A在第一象限），交抛物线C的准线于点D，若，，则以下结论正确的是（       ）A． B．直线l的倾斜角为C． D．以为直径的圆与抛物线C的准线相切11．（多选题）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于A，两点，交轴于点，若，则（       ）A． B．点的坐标为C． D．弦的中点到轴的距离为12．（多选题）已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，则下列结论中，正确的为（       ）A． B．的面积是定值C．定值 D．设，则13．已知过点的直线与抛物线交于不同的A，B两点，以A，B为切点的两条切线交于点N，若，则p的值为__________．14．已知抛物线：（）的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于、两点，且满足：（其中为坐标原点且A，均不与重合），对于下列命题：①，；②直线恒过定点；③A，中点轨迹方程：；④面积的最小值为16.以上说法中正确的有______.15．已知抛物线的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则________．16．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______.17．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______18．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为，(1)求曲线的方程；(2)已知圆，若、在交点处的切线相互垂直，求a的值．19．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A和B两点，过A和B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点E．(1)求证：．(2)若，求的面积的取值范围．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F.(1)若四边形ABCD为等腰梯形，求；(2)若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值.22．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，.(1)证明：A，B的纵坐标之积为定值；(2)若，求此时直线l的方程.