抛物线必会十大基本题型专题06以抛物线为情境的定值问题—抛物线必会十大基本题型讲与练（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练06以抛物线为情景的定值问题典例分析类型一、有关斜率的定值问题1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，，记直线、的斜率分别为、，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值.【详解】已知抛物线的焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由以及直线的斜率存在可知，，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，.2．已知抛物线，过点作两条斜率为，的直线与抛物线的准线分别相交于点，．分别过，作的垂线交抛物线于点，，当时，则点到直线的距离的最大值是（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，，直线，与抛物线联立，得到韦达定理，由求得a的值.则直线过定点，则到直线的最大距离即MN.【详解】设，，直线，由，得．则．，∴，得．∴直线过定点，则到直线的距离．当，即，或，时取等号．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，为定值.证明：，且为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；（2）由已知，分别设出，，，四点坐标，然后利用坐标分别表示出和的方程，然后将点代入方程，从而得到等量关系，然后代入到斜率的表达式中即可证明.【解析】(1)由已知，，，则，代入抛物线可得：.(2)设，，，，则：，整理得，代入，可知，则同理可得，，则设，的中点分别为，，则，则则4．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O．(1)求E的方程；(2)连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）根据题意，设直线方程为，联立方程组，得出，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，所以，即可求出的值，进而求出E的方程；（2）再次联立方程组，表示出和，由（1）知，代入可求得为定值.【解析】(1)由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为，，，联立，得，所以，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即，所以，即，将代入，解得．所以E的方程为；(2)设，，直线AF的方程为，联立，得，所以，即，同理，即，，同理，由（1）知，所以．类型二、有关线段长度的定值问题1．已知曲线C：y2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】【分析】设直线MN的方程，与抛物线联立切线两根之和，进而求出MN的中点Q的坐标，再由抛物线的性质可得弦长|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一个定值，求出定值m．【详解】由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线的方程为：x，由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为：x＝ty，设t＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（t1+y2）+p＝2pt2+p，所以MN的中点Q（pt2，pt），由抛物线的性质可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p（1+t2），|QF|pt，由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由题意在Rt△QFP中，|PF|p（1+t2），所以为定值，所以m的值为，2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】如图，设四点横坐标为，根据题意和抛物线的定义可得、，联立直线方程和抛物线方程，消y得出关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得，进而得出结果.【详解】如图，分别设四点横坐标为，由得焦点，准线，由定义得，，又，所以，同理：由消去y整理得，设，则，即.3．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】设直线的标准参数方程（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程应用韦达定理，利用计算可求解．【详解】设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程得，，，，，此值与的取值无关，则，即．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题的定值问题．解题关键是利用直线的参数方程，利用参数的几何意义求解．即设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程后应用韦达定理得，而，由此易计算．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于（       ）A．－4 B．4 C．p2 D．－p2【答案】A【解析】按照焦点弦AB是否与x轴垂直分类，设直线方程，结合韦达定理即可得解.【详解】①若焦点弦AB⊥x轴，则，则；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设，联立得，，则；又，∴，又，，.类型二、有关线段长度的定值问题1．（多选题）已知抛物线C：，过焦点F的直线交抛物线C于两点，直线，分别于直线m：相交于两点则下列说法正确的是（       ）A．焦点F的坐标为B．C．的最小值为4D．与的面积之比为定值【答案】BCD【解析】【分析】A选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的最小值；D选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值.【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A错误；显然直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为，联立，消去x得到，，，，故B正确；由抛物线性质知，则，当且仅当时，取得最小值为4，故C正确；显然，（定值），故D正确．2．如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为.(1)若，求p；(2)若，求证：是之间的一个定值（不必求出定值）.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据且，利用抛物线的定义，列出方程，即可求解；（2）设，由，则，联立方程组分别求得，，，根据M，E，H三点共线，化简得到，令，化简可得，令，结合导数求得函数的单调性，即可求解.【解析】(1)由题意，抛物线，上有一动点，且，因为且，根据抛物线的定义，可得，解得.(2)设，因为，则，直线与抛物线联立得，可得，由，得，直线与方程，可得，可得，直线与抛物线联立得：，可得，由，得因为M，E，H三点共线，可得，即，即，即，令，化简可得，令，可得，当时，，所以在单调递增，又因为，，所以，所以.巩固练习1．已知、、是抛物线上三个不同的点，且抛物线的焦点是的重心，若直线、、的斜率存在且分别为、、，则（       ）A．3 B． C．1 D．0【答案】D【解析】【分析】本题可设、，则、，然后两式相减，得出，再然后设，通过相同的方式得出，，最后通过焦点是的重心得出，即可得出结果.【详解】设，，则，，两式相减，得，则，设，同理可得，，因为焦点是的重心，所以，则，【点睛】三角形背景下的圆锥曲线问题是圆锥曲线的一类特色，近几年高考也经常会考到，解决此类问题通常会用到设而不求思想，如本题设出点、、的坐标后，直接使用三角形的重心坐标公式求解．2．已知抛物线的焦点为，过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点，为轴上一点，满足，则（       ）A．为定值 B．为定值C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为【答案】A【解析】【分析】根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出点的坐标，可求得，即可计算出的值.【详解】若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；由题意，，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，则，所以，，线段的中点为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以，因此，.3．（多选题）已知为抛物线的焦点，过直线上一动点作的两条切线，切点分别为、，则下列恒为定值的是（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，得切线与切线垂直，，三点共线，再结合抛物线的性质依次讨论各选项即可得答案.【详解】根据题意，得为抛物线的准线，焦点为，设，所以，设过点与曲线相切的直线方程为：，，即，所以联立方程得，所以，由直线与曲线的相切关系得，整理得，即设切线的斜率为，切线的斜率为，则，所以切线与切线垂直，再将代入整理得，解得，再将，代入得，所以，所以，，所以，因为，，所以三点共线.所以，如图，为直角三角形，为边上的高，故对于A选项，由等面积法得，即，由于点为动点，故不为定值，错误；对于B选项，由过焦点的弦的性质，，是定值，正确；对于C选项，由于切线与切线垂直，故，是定值，正确；对于D选项，由题知，∽，所以，所以，是定值，正确.【点睛】本题考查抛物线过焦点的弦的性质，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题解题的关键在于证明切线与切线垂直，且三点共线.，进而结合抛物线的性质求解.4．（多选题）已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则（       ）A．为定值 B．为定值C．为定值 D．为定值【答案】ABD【解析】【分析】直线与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，利用韦达定理依次验证四个选项即可得结果.【详解】由得：，则；对于A，为定值，A正确；对于B，，B正确；对于C，，不为定值，C错误；对于D，，则为定值，D正确.5．（多选题）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（     ）A．焦点的坐标为 B．若，则过定点C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，即可判断A；设直线，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，由，即可求出，即可判断B；设直线，代入抛物线方程，消元列出韦达定理，即可判断C、D；【详解】对于A，由题意，所以焦点，故A错误；对于B，若直线的斜率，显然不合题意；设直线，代入，得，则，，所以，所以，所以，所以直线过定点，故B正确；对于C，由直线过点，可设直线，代入，得，则，，所以，故C正确；对于D，由C可知，，，所以，所以当时，的最小值为16，故D正确，6．（多选题）已知斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线C交，两点，则以下结论正确的是（       ）A．若，则MN的中点到y轴的距离为6B．对任意实数k，为定值C．存在实数k，使得成立D．若，则【答案】BD【解析】【分析】写出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长公式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，，由消去并化简得，所以，，B选项正确.所以.当时，，此时的中点到轴的距离为，A选项错误.当时，即，此方程无解，所以C选项错误.当时，，由于，所以.则，当时，，当时，，所以当时，，D选项正确.7．（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（       ）A．没有最大值也没有最小值 B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】可设直线AB的方程为，将其与抛物线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，得到，判断出C选项，由抛物线的定义知，，，求出，判断出B选项，由基本不等式判断出A选项，表达出，代入两根之和，两根之积即可.【详解】由题意知，，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去x，得，，，即选项C正确；由抛物线的定义知，,，所以，即选项B正确；∵，∴，∴，∴有