抛物线必会十大基本题型专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练04以抛物线为情景的最值与范围问题典例分析类型一、以抛物线为情景的点线最值问题1．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．【详解】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离.2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（       ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值.【详解】如图，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，则设直线的方程为，，，，.联立，整理得，则，.，.3．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，即直线是抛物线的准线.抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和，最小值为到直线的距离，即.4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.【详解】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），∴|FN|＝d＝，设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题1．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设点，，表示出，考虑的正负情况，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意：，，设点，，A在抛物线上，故，，，由得，即，，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立，2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.∴k有最大值，3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3，(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解；（2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围，再根据，求取值范围即可.【解析】(1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为．将点代入，得，所以点A的坐标为．(2)直线与抛物线联立，消去y得，，解得或．设，则有，则，即，又．所以，则因为，设，则，因为，则，所以因为或，所以k的取值范围是。类型三、有关抛物线焦点的最值问题1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（       ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果．【详解】抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是，则抛物线的方程为，因为，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是，在抛物线上，是抛物线的焦点，，当三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为，2．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．的最小值为-2 D．的最大值为3【答案】ACD【分析】画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值.【详解】如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确；如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值.3．已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值【答案】ACD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确．【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以，时取等号，最小值为8，所以不正确；中，满足，可知点在抛物线内部，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确；中，由B的分析可知：由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确；类型四、以抛物线为情景的参数范围问题1．已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，，∵，∴,由题意得，直线与直线的距离，即，解得，∴,2．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数p的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】存在关于直线对称的相异两点，第一步设出直线方程，联立方程根与系数的关系，求出中点坐标，代入抛物线方程求解即可.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点是，设直线的方程为．将代入抛物线方程，得，则，则的中点P的坐标为．因为点P在直上，所以，即．又，将代入得，即，解得3．已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G.(1)若直线的斜率为求直线l的方程;(2)设点，若恒为锐角，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，表达出G点坐标，由直线OG的斜率列出方程，求出直线方程；（2）将恒为锐角转化为，等价于对任意的恒成立，根据二次函数根的分布，列出不等式组，求出的取值范围.【解析】(1)由题意得，设直线的方程为，线段的中点．联立方程，整理得：，由韦达定理得：．，即．∵直线的斜率为，，解得：或，∴直线l的方程为：或．(2)为锐角，等价于．设，则，故恒成立．令，则，原式等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令．①，解得：；②，解得：．又，故．综上所述，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中求解取值范围的题目，通常要设出直线，与圆锥曲线联立，根据两根之和与两根之积进行代入化简，最后利用基本不等式，二次函数根的分布或导函数等进行求解.类型五、以抛物线为情景的面积范围与最值问题1．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程；（2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【解析】(1)由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得，所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为．(2)由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为，因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为，设，所以，所以，又，所以，即得，设直线的方程为，即，联立方程组，所以，所以，即，由根据与系数的关系得，则，又由点到直线的距离为，所以，记，因为，所以，所以，令，可得，令，可得，当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即有最大值为.2．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、．(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围；(2)求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）问题需求的取值范围，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化为求解二次函数的值域；（2）将用A，B两点的横坐标表示，从而结合韦达定理建立函数关系式，由满足的不等关系求解．【解析】(1)联立消去y，得，设，，则，，∴；(2)由，由（1）知：，由得：，解得或，又，故，由得：，解得，∴，故的取值范围为3．如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可；（2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可．【解析】(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图，由可得：，所以，所以，代入直线方程得：，又当时，由得，在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：；(2)由（1）可知直线：，由   得：，直线与抛物线交于，两点，即则，   ，，又，令， ，，由得（负根舍去），知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值，时，.4．如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解；（2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可设直线的方程为，则，联立，可得，，可得，①设点、，由韦达定理可得，，设点，则，，将点的坐标代入抛物线的方程得，则，代入①可得，可得，解得，因此.因此，点的纵坐标的取值范围是.(2)设点，则点到直线的距离为，，故的面积，②将代入②得，令，记，则，则，因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，，可得，③，因为点在椭圆的左上方，则，④由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题