圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题(平移齐次化)1.真题回顾2020新高考I卷2.题型梳理题型1:已知定点求定值题型2:已知定值求定点【例题】2x2已知椭圆+y=1,设直线l不经过P(0,1)点且与C相交于A,B两点.若直线PA与直线PB的斜率4222的和为-1,证明:l过定点.Q(2,-1)1【手电筒模型·1定+2动】x2y2直线y=kx+m与椭圆+=1a>b>0交于A,B两点,P(x0,y0)为椭圆上异于AB的任意一点,a2b2若kAP⋅kBP=定值或kAP+kBP=定值(不为0),则直线AB会过定点.(因为三条直线形似手电筒,固名曰k+k手电筒模型).补充:若y=kx+m过定点,则k⋅k=定值,APBP=定值.APBPk22020·新高考1卷·22x2y221已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A2,1.a2b22(1)求C的方程:(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得DQ为定值.题型一已知定点求定值1已知抛物线C:y2=4x,过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点,O为坐标原点.证明:∠POQ=90°.32x22如图,椭圆E:+y=1,经过点M(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于2点A(0,-1),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.3x2y23已知点A1,,O为坐标原点,E,F是椭圆C:==1上的两个动点,满足直线AE与直线243AF关于直线x=1对称.证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值;4x2y24如图,点F(1,0)为椭圆+=1的右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆E相交于C、D两43点(C在D的上方),设点A、B是椭圆E上位于直线CD两侧的动点,且满足∠ACD=∠BCD,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.2x25椭圆E:+y=1,A0,-1,经过点1,1,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异2于点A),证明:直线AP与AQ斜率之和为2.5x2y26已知椭圆C:+=1,过F作斜率为k(k≠0)的动直线l,交椭圆C于M,N两点,43kk若A为椭圆C的左顶点,直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:+为定值,并求出定值.k1k2题型二已知定值求定点2x21(2017·全国卷理)已知椭圆+y=1,设直线l不经过P点且与C相交于A,B两点.若直线PA422与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.62x22已知椭圆C:+y=1,设直线l不经过点P(0,1)且与C相交于A,B两点.若直线PA与直线P4222B的斜率的和为-1,证明:直线l过定点.23已知抛物线C:y=2px(p>0)上的点P(1,y0)(y0>0)到其焦点的距离为2.(1)求点P的坐标及抛物线C的方程;1(2)若点M、N在抛物线C上,且k•k=-,证明:直线MN过定点.PMPN27x2y234已知椭圆C:+=1,P1,,若直线l交椭圆C于A,B(A,B异于点P)两点,且直线PA与4329PB的斜率之积为-,求点P到直线l距离的最大值.4x2y235已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆E的短轴长等于4.a2b23x2y2(1)求椭圆E的标准方程;+=164(2)设A0,-1,B0,2,过A且斜率为k1的动直线l与椭圆E交于M,N两点,直线BM,BN分别交⊙22C:x+y-1=1于异于点B的点P,Q,设直线PQ的斜率为k2,直线BM,BN的斜率分别为k3,k4.①求证:k3⋅k4为定值;②求证:直线PQ过定点.8
平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题(学生版)
2023-11-19
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