抛物线必会十大基本题型讲与练02抛物线的中点弦问题典例分析类型一、求中点弦的弦长1.已知抛物线的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于A,B两点,若第一象限内的点为线段的中点,则的长度为( )A.12 B.18 C.16 D.8【答案】C【分析】设,,直线的方程为,联立直线与抛物线方程,消元、列出韦达定理,由的中点的坐标,求出参数的值,即可得到,再根据焦点弦的性质计算可得;【详解】由条件得,设,,直线的方程为:,联立得,∴,由得.∴,所以.2.已知抛物线的焦点为,过且倾斜角为的直线交于A,两点,线段中点的纵坐标为,则( )A. B.4 C.8 D.24【答案】C【分析】点差法求得,然后利用直线AB方程求得中点横坐标,根据抛物线定义可得.【详解】记AB中点为,设,则,显然,所以由点差法得,由题知,,所以,易得直线AB方程为,则,即,所以.3.已知A,B在抛物线上,且线段AB的中点为M(1,1),则|AB|=( )A.4 B.5C. D.【答案】C【分析】设,点差法可得,得到直线AB的方程为,与抛物线联立,利用弦长公式即得解【详解】由题意,设线段AB的中点为M(1,1),故,且两式相减得:,故,故直线AB的方程为:,即将直线与抛物线联立:,即,则类型二、求弦中点的坐标1.经过抛物线:的焦点作直线与抛物线相交于、两点.若,则线段的中点的纵坐标为( )A. B.3 C. D.4【答案】B【分析】利用抛物线焦点弦的性质即可【详解】由题可得抛物线标准方程为,设,因为直线过抛物线焦点,所以,所以,中点,所以中点纵坐标为3,2.已知抛物线的准线方程为,在抛物线上存在、两点关于直线对称,设弦的中点为,为坐标原点,则的值为__________.【答案】【分析】根据抛物线的准线方程为,求得抛物线的方程为,再利用点差法结合A、两点关于直线对称,求得AB的中点坐标求解.【详解】因为抛物线的准线方程为,所以,解得,所以抛物线的方程为,设,AB的中点坐标为,则,两式相减得,所以,因为、两点关于直线对称,所以,解得,即,所以,3.若、是抛物线上的不同两点,弦(不平行于轴)的垂直平分线与轴相交于点,则弦中点的横坐标为___________.【答案】【分析】设出点A,B的坐标,再求出弦AB的垂直平分线的方程,将代入计算作答.【详解】设点、的坐标分别是、,则,,两式相减得,因,即有,设直线的斜率是,弦的中点是,则,从而的垂直平分线的方程为,又点在直线上,所以,而,解得,弦中点的横坐标为2.4.已知直线l的抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点.(1)若直线AB的斜率为1,求点M的横坐标;(2)若,求点M纵坐标的最小值.【答案】(1)2(2)3【分析】(1)设,代入抛物线的方程中作差可得答案.(2)设直线AB的方程为,与抛物线的方程联立,根据弦长公式求得,再由中点坐标公式和基本不等式可求得答案.【解析】(1)设,则,所以,即,又直线AB的斜率为1,所以,所以线段AB的中点M的横坐标为2;(2)设直线AB的方程为,与抛物线联立整理得,则,所以,又,所以,整理得,解得,设线段AB的中点M的坐标为,则,所以,当且仅当,即时取等号,所以点M纵坐标的最小值为3.类型三、求中点弦所在直线的斜率1.已知抛物线:,直线过点,且与抛物线交于,两点,若线段的中点恰好为点,则直线的斜率为( )A. B.2 C.3 D.【答案】C【分析】根据点差法和中点坐标公式即可求出;【详解】设,,,,由,,相减可得,,,2.已知抛物线的焦点为,过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点,过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点,若,则的斜率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设直线的方程为,其中,设点、、,将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出、,根据条件可求得的值,即可得出直线的斜率.【详解】抛物线的焦点为,设直线的方程为,其中,设点、、,联立可得,,,所以,,,,直线的斜率为,则直线的斜率为,所以,,因为,则,因为,解得,因此,直线的斜率为.3.直线与抛物线交于两点,且线段中点的横坐标为1,则的值为( )A.或 B. C. D.【答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程,然后利用韦达定理,根据中点坐标公式,可得结果.【详解】设,由,消去y得,由题意得,∴,.4.已知抛物线E:y2=8x.(1)求抛物线的焦点及准线方程;(2)过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点,求直线l1的方程;(3)过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A,B.若弦AB的中点为M,求直线l2的方程.【答案】(1)焦点为(2,0),准线方程为x=-2;(2)y=1或x-y+2=0或2x+y+1=0;(3)4x-3y+1=0.【分析】(1)根据抛物线的方程及其几何性质,求焦点和准线;(2)分直线l1的斜率为0和不为0两种情况,根据直线与抛物线只有一个公共点,由直线与x轴平行或Δ=0,得解;(3)利用点差法求出直线l2的斜率,即可得直线l2的方程.【详解】(1)由题意,p=4,则焦点为(2,0),准线方程为x=-2.(2)当直线l1的斜率为0时,y=1;当直线l1的斜率不为0时,设直线l1为x+1=m(y-1),联立,得y2-8my+8m+8=0,因为直线l1与抛物线E只有一个公共点,所以Δ=64m2-4(8m+8)=0,解得m=1或,所以直线l1的方程为x-y+2=0或2x+y+1=0,综上,直线l1为y=1或x-y+2=0或2x+y+1=0.(3)由题意,直线l2的斜率一定存在,设其斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则8x1,8x2,两式作差得:8(x1-x2),即k,所以直线l2为y-3(x-2),即4x-3y+1=0.巩固练习1.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,若,则线段的中点到y轴的距离为( )A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征,得到线段的中点到准线的距离,再减去准线到轴的距离,即可得到结果【详解】由图,中点为,分别垂直准线于,交轴于,易得为直角梯形的中位线,则,由抛物线定义易得,,,又准线为,,故线段的中点到y轴的距离,2.过点的直线与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线方程为,联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2,求得,结合根与系数的关系和弦长公式,即可求解.【详解】设直线方程为,,,联立方程组,整理得,因为直线与抛物线交于两点,所以,解得,因为线段中点的横坐标为2,可得,所以或(舍),所以,可得,则.3.定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,则M到y轴距离的最小值为( )A. B. C.2 D.【答案】C【分析】利用抛物线的定义结合梯形中位线公式得到M到y轴距离,当三点共线时即得到M到y轴距离的最小值.【详解】抛物线的焦点为F,则抛物线的准线,设在准线上的垂足分别为,连接,如图所示.所求的距离因为抛物线的通径为,所以定长为6的线段AB两个端点在抛物线上移动时可以经过焦点,此时三点共线,,,则点M到y轴的最短距离为2,4.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】设,进而根据题意,结合中点弦的问题得,进而再求解准线方程即可.【详解】根据题意,设,所以①,②,所以,①②得:,即,因为直线AB的斜率为1,线段AB的中点的横坐标为3,所以,即,所以抛物线,准线方程为.5.(多选题)已知直线与抛物线交于两点,若线段的中点是,则( )A. B.C. D.点在以为直径的圆内【答案】AB【解析】【分析】直线与抛物线方程联立,利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得,知A正确;将中点坐标代入直线方程即可求得,知B正确;根据直线过抛物线焦点,根据抛物线焦点弦长公式可知C错误;根据长度关系可确定,由此可确定D错误.【详解】对于A,设,,由得:,,又线段的中点为,,解得:,A正确;对于B,在直线上,,B正确;对于C,过点,为抛物线的焦点,,C错误;对于D,设,则,又,,,在以为直径的圆上,D错误.6.(多选题)已知抛物线的焦点为F,准线为,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点作准线的垂线,垂足为,,P为线段的中点,O为坐标原点,则( )A.线段长度的最小值为4 B.为锐角C.A,O,三点共线 D.P的坐标可能为【答案】ACD【解析】【分析】根据抛物线的性质判断A;根据抛物线的定义和平行线的性质判断B;设直线AB和点A、B的坐标,联立抛物线方程,结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等,判断C;结合C选项可判断D.【详解】由题意知,抛物线C的方程为,线段长度的最小值为通径,A正确;,轴,∴,同理,∴,B错误;设直线,联立抛物线并整理,得,设,,则,,∵,∴,A,O,三点共线,C正确;设的中点,则,,取时,,D正确;7.已知抛物线的焦点为F,过F作斜率为的直线与C交于两点,若线段中点的纵坐标为,则F到C的准线的距离为_______.【答案】【分析】设、,利用点差法可得出,最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设,,则,,两式相减得,即,因为、两点在斜率为的直线上,所以,所以由得,因为线段中点的纵坐标为,所以,则,,所以F到C的准线的距离为.8.已知为抛物线上的两点,,若,则直线的方程为_________.【答案】【分析】由于可得为中点,则,根据点差法即可求得直线的斜率,从而得方程.【详解】设又,因为,所以,又,则,得则直线的斜率为,故直线的方程为,化简为.联立,可得,,直线与抛物线有两个交点,成立9.已知抛物线的准线方程为,在抛物线C上存在A、B两点关于直线对称,设弦AB的中点为M,O为坐标原点,则的值为___________.【答案】5【解析】【分析】先运用点差法得到,然后通过两点距离公式求出结果.【详解】抛物线的准线方程为,所以,解得,所以抛物线的方程为,设点,,,,的中点为,,则,,两式相减得,即,又因为,两点关于直线对称,所以,解得,可得,则,10.直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是___________.【答案】【解析】【分析】设、中点,分析可得直线过定点,即,点差法可得,代入可得,与抛物线联立可得的范围【详解】设,中点,则.,过定点,.又,(1),(2)得:,. 于是,即.又弦中点轨迹在已知抛物线内,联立,故弦的中点轨迹方程是11.直线与抛物线交于,两点,若线段被点平分,则抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】【分析】设,,由点差法建立关系式,可求出,即可求解【详解】设,,由线段被点平分,可知,又,,所以,由题意可知,直线的斜率存在,且为1,所以,所以,即,所以.故抛物线的准线方程为.12.已知抛物线经过点,直线经过点且与抛物线交于,两点.若线段的中点为,为抛物线的焦点,则的周长为______.【答案】【解析】【分析】待定系数法得,再根据中点弦点差法得直线的斜率,再将直线与抛物线联立方程,利用焦半径公式得,利用弦长公式得,进而得答案.【详解】把点代入中得,故抛物线的方程为.设,,由题意可知直线的斜率存在且不为0,故.则,,两式相减得,又因为的中点为,所以,将代入上式得直线的斜率,于是直线的方程为,即.联立消去得,,由根与系数的关系得,,由抛物线的定义得,而,因此的周长为.13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为2,求k的值.【答案】(1)(2)2【分析】(1)根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程;(2)联立直线方程与抛物线
抛物线必会十大基本题型专题02 抛物线的中点弦问题(解析版)
2023-11-19
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