抛物线必会十大基本题型专题09抛物线与平面向量的交汇问题（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练09抛物线与平面向量的交汇问题典例分析类型一、以向量为问题情景1．已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（       ）A． B．1 C．16 D．【答案】B【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.设，则.由，则，所以，，因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.于是.2．已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（       ）A． B．-1 C． D．-2【答案】A【分析】设，，利用导数的几何意义可求直线，，进而可得，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.【详解】设，.由求导得，则直线，直线，联立方程可得，由P在直线上，得，且，即.因而.3．已知抛物线：（），直线交于A、B两点.(1)若当时，，求p的值；(2)如图，（i）若，求面积的最小值.（ii）抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D，AC和BD交于G，.证明：存在实数，使得.【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】(1)联立直线与抛物线方程，由弦长公式可得答案.(2)（i）设，∴，，三点共线，又∵为的中点，，联立方程，得出韦达定理，代入面积公式，可得出答案.（ii）求出两切线方程，进而可求得点的坐标，分k=0、k≠0两种情况讨论，在时，推导出重合，可得出存在；在时，求出的中点的坐标，利用斜率关系可得出，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.【解析】(1)当时，，联立即，，，，即，∴或（舍去）.(2)（ⅰ）令，则，∵，∴，，三点共线，又∵为的中点，∴，联立消去得，，，，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.（ⅱ）即，，设，，切线方程：，即，令，则，同理可得，令，则联立，则∴若时，三点重合，则，又所以存在，使得当时，为的重心，则中点，即，∴，∴，又∵，∴，存在实数，使得.类型二、以向量为条件情景1．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于，两点，且，则直线的斜率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根据抛物线方程求出准线方程，即可得到的坐标，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据，即可得到，从而求出、，从而求出；【详解】抛物线的准线为，所以，设直线为，，，则，即，所以，，因为，即，所以，所以或，所以；2．已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（       ）A． B．3 C． D．6【答案】A【解析】【分析】由条件可得点P是线段AB的中点，然后利用点差法求解即可.【详解】设，，因为，所以点P是线段AB的中点，则.因为A，B都是拋物线C上的点，所以，所以，所以，即，则.3．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（       ）A． B． C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.【详解】由题意可得抛物线的焦点.弦AB的中点M的横坐标为，由已知条件可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为，，则联立，消去y得，∴，又因为弦AB的中点M的横坐标为，∴，∴，，∴点A到准线的距离为，点B到准线的距离为，所以∴，又，故.4．（多选题）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则(       )A． B．直线恒过定点C．A、B中点轨迹方程： D．面积的最小值为16【答案】ABD【解析】【分析】求出圆心坐标得抛物线焦点坐标，从而得抛物线方程，直线斜率不为0，设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，然后可得，并能得出直线所过定点坐标，设中点为，结合韦达定理的结论可求得中点轨迹方程，由两点间距离公式求得，再求得原点到直线的距离可得三角形面积，从而得最小值．【详解】圆可化为，则，半径r=1，∴抛物线的焦点为，∴，，∴抛物线C的方程为，由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，由，得，则，即，∴，，则，解得或(舍，否则直线l过原点)，∴，，故A正确；直线方程为，恒过定点，故B正确；设中点为，则，，消去参数得，故C错误；，原点到直线的距离为，∴，∴时，为最小值，故D正确．类型三、以向量为解题工具1．直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A､B两点，O是抛物线的顶点，则的大小可以是（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】设抛物线的方程为，过焦点的直线，联立方程，由韦达定理以及数量积公式得出为钝角，进而得出答案.【详解】不妨设抛物线的方程为，过焦点的直线，代入抛物线方程得，设，则，则，所以为钝角，则的大小可以是或.2．已知抛物线C：，直线l：交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为____________.【答案】【解析】【分析】将直线l：代入抛物线C：，得，，由OP⊥OQ得，计算可得.【详解】将直线l：代入抛物线C：，得，，所以，，因为OP⊥OQ，所以，，所以抛物线C的方程为.3．已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，利用点关于直线对称的点求出点M的坐标，设直线l的方程为：，，联立抛物线方程，进而利用韦达定理表示出，结合垂直向量的数量积为0列出关于的方程，解方程即可.【详解】由题意知，抛物线的焦点F为，所以，所以抛物线的方程为：，设关于直线的对称点为，则直线MF与直线垂直，又，有，得①，因为线段MF的中点在直线，所以，即②，由①②，解得，所以，设直线l的方程为：，，则，，，消去y，得，，，因为，所以，又，所以，解得.4．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由题意，根据所给的几何关系以及抛物线的性质，可以求解；(2)分别设A，B，M，N，T的坐标，利用其中的几何关系可以证明.【解析】(1)由可知，抛物线C的准线为：，点到准线的距离为，根据抛物线定义：，，抛物线C的方程为；(2)设，，，，，．，，由，，得，即，同理，由得…①，由得…②，①②两式相加得，即，，，点T在定直线上．综上，抛物线C的方程为.巩固练习1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解【详解】，设，，，则，得，由抛物线定义得。2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于（位于第一象限）、两点，直线与交于点，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设直线为联立抛物线并解得，，结合及得到横坐标的线性关系，即可求t值.【详解】由题设，令直线为，联立抛物线可得：，又位于第一象限，可得，，而，由，则，即，故.3．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（       ）A．4 B．9C． D．【答案】D【分析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，所以抛物线的方程为，其焦点为，因为，可得，可得三点共线，且为的中点，又因为，，所以，将点代入抛物线，可得，所以的面积为.4．已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】D【分析】先说明这样的满足，并且弦以为中点的，再证明对于无数多个点，都存在满足条件的弦即可.【详解】当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个.5．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（       ）．A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.【详解】设直线，联立，则，则，．由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，又，满足，，且，∴，解得．6．已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出点B坐标，利用向量关系求出，进而求出.【详解】由题意得：，设，因为，所以，解得：，故，当时，，所以.7．（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（       ）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|【答案】AC【解析】【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可判断；D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断.【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直线m，满足，选项B不正确．C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．D选项，如图3，设直线m的方程，，，，由，得．当，即且时，由韦达定理，得，．因为，，所以，又，，所以成立，故D不正确．8．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则(       )A．B．点的坐标为C．D．弦的中点到轴的距离为【答案】ACD【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标可得的值，判断A；由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断B；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C；根据AB中点恒坐标可求AB中点到y轴的距离，从而判断D．【详解】抛物线的焦点为,，由题意可得，解得，即抛物线的方程为，∴A选项正确；过B作垂直于抛物线准线于，由得，∴，即，代入抛物线的方程可得，∴，∴B选项不正确；根据抛物线的对称性，不妨取当在轴下方时，即，，∴，∴直线的方程为，与抛物线的方程联立可得：，设，，∴，由抛物线的性质可得，∴C选项正确；∵的中点的横坐标为，∴AB中点到y轴距离为，∴D选项正确；9．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（       ）A． B． C．2 D．3【答案】BC【解析】【分析】根据题意得到直线过抛物线的焦点，得出，再结合抛物线焦点弦的性质得到，求得的长，即可求解.【详解】根据题意，抛物线的焦点为，可得直线过抛物线的焦点，因为所以，即，又由抛物线焦点弦的性质，可得，联立方程组，可得或或，又因为，所以或2.10．（多选题）已知抛物线的