抛物线必会十大基本题型专题01抛物线标准方程(解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练01抛物线的标准方程典例分析类型一、待定系数法第一步，做判断，根据条件判断抛物线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。第三步，找关系，根据已知条件，建立关于的方程,第四步，解方程，由上一步所得方程组求得出，将解代入所设方程，即得所求。1．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求出点的坐标，进一步求出直线的方程，令，可求出点的坐标，得出，即可求出抛物线的方程.【详解】由题意，，不妨设，则，化简为所以，则直线的斜率为：，所以所在直线方程为：，令得．则，所以所以抛物线的方程为．2．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（       ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为，所以所求抛物线的方程为.3．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.【详解】因为抛物线C的方程为，所以焦点，设，由抛物线的性质知，得．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，代入抛物线方程，得，解得或．所以抛物线C的方程为或．4．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________．【答案】或【分析】由题意分情况可得点的坐标为，代入抛物线方程中可求出的值，从而可得抛物线的方程【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点，因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形，所以当在的右边时，点的坐标为，所以，化简得，解得或（舍去），所以抛物线的方程为，当在的左边时，点的坐标为，所以，化简得，解得或，所以抛物线的方程为，综上，所求的抛物线方程为或5．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点；(2)焦点在直线上.【答案】(1)抛物线方程或，对应的准线方程分别是，.(2)抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.【分析】（1）设所求的抛物线方程为或，把点代入即可求得，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程.（2）令，代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得，则抛物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程.【解析】(1)设所求的抛物线方程为或，因为过点，所以或，所以或.所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或.(2)令得，令得，所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，，所以，此时抛物线方程；焦点为时，，所以，此时抛物线方程为.所以所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.类型二、定义法1．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选：B.2．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（       ）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x【答案】B【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.3．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为___________.【答案】【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解即可.【详解】由抛物线的定义可得，，又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为.4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则此抛物线的准线方程为________【答案】【解析】【分析】设点在轴下方，设点、、，由已知可得出，求出点的坐标，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得的值，即可得解.【详解】设点在轴下方，设点、、，易知点，由已知可得，即，所以，解得，即点将点的坐标代入抛物线的方程可得，则，即点，设直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得，则，所以，，所以，，因此，该抛物线的准线方程为。类型三抛物线方程的应用1．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为，由题意知：在抛物线上，即，解得：，，当水位下降1米后，即将代入，即，解得：，∴水面宽为米.2．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（       ）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m【答案】A【分析】根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，利用已知条件得出点在抛物线上，代入方程求得p值，进而求得焦点到顶点的距离.【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．设抛物线的标准方程为，由已知条件可得，点在抛物线上，所以，解得，因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，3．有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥．(3)若设EF＝a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．【答案】(1)；(2)6米；(3)【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为．利用待定系数法，把已知坐标代入解析式求得抛物线的解析式．（2）已知CD＝9，把已知坐标代入函数关系式可求解．（3）已知EF＝a，易求出E点坐标以及ED的表示式．易求矩形CDEF的面积．【解析】(1)设抛物线的解析式为．把已知坐标代入解析式，求得a，b＝0，c＝0．故抛物线的解析式为．(2)∵CD＝9，∴点E的横坐标为，则点E的纵坐标为∴点E的坐标为，因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过（米）(3)由EF＝a，则E点坐标为，此时∴．巩固练习1．已知抛物线：的焦点坐标为，则的准线方程为（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由焦点坐标得，从而得准线方程．【详解】抛物线焦点坐标为，则，所以准线方程是．2．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为3．已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决.【详解】抛物线的焦点，由，可得，不妨令则，解之得则抛物线方程为，其准线方程为4．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（       ）（结果精确到）（参考数值：）A． B． C． D．【答案】C【分析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，令y＝，解得，所以水面宽度为2.24×817.9m．5．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，且，若点M的坐标为，且，则抛物线C的方程为(       )A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】设P为，根据和可求，由可求出p.【详解】设P为，则，又由，∴，∵，∴，∴，由，联立方程组，消去，可得，∴，故，又由，∴，即，解得或，∴C的方程为或.6．已知为抛物线上一点，点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，则（       ）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】先求出点的坐标，然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可【详解】因为为抛物线上一点，所以，得，所以，抛物线的焦点为，因为点P到抛物线C的焦点的距离与它到y轴的距离之比为，所以，化简得，因为，所以，7．已知抛物线，为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.【详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，因为，将代入抛物线方程得，可得，不妨设点，则，所以，，解得，因此，抛物线的方程为.8．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：因为，又//，，则，故可得，又△△，，则，即，解得，故抛物线方程为：.9．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，，，，，从而得，，，求得，所以抛物线的方程为．10．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.【详解】因为直线l的方程为，即，由消去y，得，设，则，