抛物线必会十大基本题型专题08以抛物线为情境的几何证明（解析版）

抛物线必会十大基本题型讲与练08以抛物线为情景的几何证明典例分析类型一、以抛物线为情景的点与直线或曲线位置关系的证明1．如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．【答案】(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，设点A，B坐标，利用韦达定理计算作答.（2）利用（1）中信息，求出直线MN，CD的方程，并求出交点坐标即可推理作答.【解析】(1)抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得，，设点，，则，，矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，所以．(2)由（1）得，，，，于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.所以线MN与直线CD交点在定直线上.【点睛】涉及用过定点的直线l解决问题，若直线l不垂直于x轴，可设其方程为：；若直线l不垂直于y轴，可设其方程为：.2．已知抛物线C：的焦准距为2，过C上一动点作斜率为，的两条直线分别交C于，两点（P，A，B三点互不相同），且满足．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB上一点M，满足，证明：线段PM的中点在y轴上．【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）根据焦准距求得，从而求得抛物线的方程.（2）求得两点的横坐标，结合求得，从而证得结论成立.【解析】(1)由于抛物线的焦准距，所以抛物线的方程为.(2)直线的方程为，由解得，同理可求得，由于，，则，由于，即，所以，，所以，即线段PM的中点在y轴上．3．已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；(2)求证：点M在抛物线C上【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）分别求出直线AF和直线BN及其交点M,进而求出；（2）分别求出直线AF和直线BN交点M，进而可得点M坐标符合抛物线方程，即证.【解析】(1)∵，∴，，，(2)，，，：          ①：        ②，联立①②：，点M满足：∴M在抛物线C上．类型二、以抛物线为情景的两角关系的证明1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；(2)若F是抛物线C的焦点，证明：．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可.（2）转化为证明向量分别与向量的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.【解析】(1)由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，代入抛物线方程可得2p=1，所以抛物线的方程为x2=y，设A，B，所以，所以直线AB的方程为，即，因为直线AB过点C(0，2)，所以，所以①.因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，直线PA的方程为，即，同理直线PB的方程为，联立两直线方程，可得P由①可知点P的纵坐标为定值-2.(2)，，注意到两角都在内，可知要证，即证，，，所以，又，所以，同理式得证.2．已知抛物线的焦点为F，M为T上一动点，N为圆上一动点，的最小值为.(1)求T的方程；(2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且，证明：.【答案】(1);(2)证明见解析【分析】（1）先判断出当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；（2）设出直线方程，联立抛物线求出，由解出，再由即可证明.【解析】(1)由题得，当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，取得最小值，最小值为，又，解得，所以T的方程为.(2)当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，则，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以.类型三、以抛物线为情景的定值问题的证明1．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是．【答案】(1)；(2)证明见详解．【分析】（1）依题意得点P与点的距离与它到直线的距离相等，则P的轨迹C是抛物线，从而求解方程；（2）设在准线上的投影分别为，并连接，，过点作交于点，从而直线AB的斜率是，结合勾股定理即可求解．【解析】(1)因为点P与点的距离比它到直线的距离小2，则点P与点的距离与它到直线的距离相等，所以点P的轨迹C是以为焦点以直线为准线的抛物线，故轨迹C的方程为；(2)设在准线上的投影分别为，并连接，，过点作交于点，因为，，又，则又，所以；故直线AB的斜率是.2．已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且（O为坐标原点）．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)已知点P(0，2)，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设M(x,y)则N(－4,y)，由已知条件，利用向量数量积的坐标表示列方程即可得轨迹方程.（2）设坐标，联立已知直线与曲线E，由判别式求的范围，并根据韦达定理得到坐标关于t的表达式，写出直线PA、PB方程，联立曲线E，应用韦达定理得到关于坐标的关系，最后利用两点式可得，化简即可证结论.【解析】(1)设M(x,y)，则N(－4,y)，则，，所以，则E的方程为．(2)设，，，，联立，得，则，即，且，，又直线PA为，联立，得，由韦达定理得：，所以，同理得：．则，故直线CD的斜率为定值，得证.3．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2.(1)求抛物线的方程.(2)若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）求出坐标，待定系数法设切线方程，解出斜率，表示坐标后由面积列方程求解（2）待定系数法设直线方程，与抛物线方程联立后由韦达定理表示弦长与中点坐标，再求其垂直平分线方程，表示点坐标后计算证明【解析】(1)由题意可知，设抛物线在点处的切线方程为，联立得，由解得，故切线方程为，令，得，即，又，所以，解得，所以抛物线的方程为．(2)由（1）可知，显然直线的斜率存在，故可设直线的方程为，，.联立方程组，消去得，所以，，所以，得，所以线段的中点为，中垂线所在直线的斜率，故线段中垂线所在的直线方程为，令，得，所以，所以为定值，得证.类型四、以抛物线为情景的定点问题的证明1．已知抛物线C：（），过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，抛物线C上一点到焦点F的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义求解（2）待定系数法设直线方程，联立抛物线方程由韦达定理表示坐标，继而求出直线的方程后求定点【解析】(1)到焦点F的距离为3，则准线为，，抛物线方程为．(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，由联立得，，设，则，故，同理得，故直线MN方程为整理得，故直线MN过定点2．已知抛物线E：（）上一点Q到其焦点的距离为.(1)求抛物线E的方程，(2)设点P在抛物线E上，且，过P作圆C：的两条切线，分别与抛物线E交于点M，N（M，N两点均异于P）.证明：直线MN经过R.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）直接通过点代入抛物线和点Q到焦点的距离建立方程组求解即可；（2）设出点，表示出直线，利用直线与圆相切得到，同理得到（4-，结合韦达定理求出，表示出直线，代入即可证明.【解析】(1)由题可知，解得（舍去）.故抛物线的方程为.(2)设，则直线的方程为，整理得.因为直线与圆相切，所以，整理得，同理可得，（4-，故是方程的两根，则直线的方程为，整理得.将代入直线的方程，得，解得，故直线经过.3．已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小．(1)求曲线的方程；(2)若不经过坐标原点的直线与曲线交于两点，以线段为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点为【分析】（1）根据题意可得曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可得曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即可得到答案；（2）可设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理求得，根据题意可得，则，求得的值，从而可得出结论.【解析】(1)因为曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离小1，所以曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线为以为焦点，直线为准线的抛物线，即，所以曲线的方程为；(2)证明：由题意可知，直线的斜率一定存在，可设直线的方程为，联立，消得，设，则，则，因为线段为直径的圆过点，所以，则，即,解得或（舍去），所以直线的方程为，令，，所以直线过定点.类型五、以抛物线为情景的线段关系的证明1．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，M为E上一点，与x轴垂直，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过F点的直线交抛物线E于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别是，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据求得，由此求得抛物线的标准方程.（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而计算出.【解析】(1)由题意，，由：，解得，，所以，抛物线的标准方程：(2)设，设直线的方程为：，联立：，整理得：，满足：，得：，得：，于是：，综上，.2．已知AB是抛物线上任意一条焦点弦，且、．(1)求证：，；(2)若弦AB被焦点分成长为m、n的两部分，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标，当直线斜率存在时，根据直线的点斜式方程设出焦点弦所在直线的方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理可求得，进一步可求得；当直线斜率不存在时，直接求出，两点坐标代入验证即可；（2）当直线斜率存在时，则可设出直线方程，与抛物线方程联立消去可求得，再根据抛物线的定义可求得，，代入化简即可；当直线斜率不存在时，分别求出和的值，代入化简即可；综上结论得证．【解析】(1)证明：抛物线的焦点为，当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为：，即，与联立得：，，又，，解得：；当直线斜率不存在时，、或、，，，综上所述，，；(2)由（1）知：当直线斜率存在时，，，，，由抛物线定义和焦点弦公式得：，∴，，当直线斜率不存在时，、或、，，综上所述，.巩固练习1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.【答案】(1)②③；；(2)证明见解析【分析】（1）若同时满足①②，则可推出，故不符合题意；若同时满足①③，则也是推出，不符合题意；由此可得同时满足条件②③，求得p的值，可得答案;（2）设切点P的坐标为，利用导数的几何意义求得AB的斜率，设线段AB的中点为G，进而利用点差法求得，结合题意可得，求得E的坐标为，可得OE的斜率为，从而证明结论.【解析】(1)若同时满足①②，由②得,可得MN过焦点，则，故①②不能同时满足；若同时满足①③，由③可得MN过焦点，则，所以①③不能同时满足；由以上可知，只能同时