抛物线必会十大基本题型专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练04以抛物线为情景的最值与范围问题典例分析类型一、以抛物线为情景的点线最值问题1．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（       ）A．2 B．4 C．5 D．63．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（       ）A．2 B．3 C． D．4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（ ）A． B． C． D．类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题1．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）．A． B． C． D．2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ）A．1 B． C． D．3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3，(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围．类型三、有关抛物线焦点的最值问题1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（       ）A．4 B．5 C．6 D．72．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．的最小值为-2 D．的最大值为33．已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值类型四、以抛物线为情景的参数范围问题1．已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数p的取值范围为（     ）A． B． C． D．3．已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G.(1)若直线的斜率为求直线l的方程;(2)设点，若恒为锐角，求的取值范围.类型五、以抛物线为情景的面积范围与最值问题1．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．2．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、．(1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围；(2)求的取值范围．3．如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值.4．如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．巩固练习1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ）A． B． C． D．2．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（       ）A．5 B．4 C．3 D．23．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（       ）A．4 B．3 C．2 D．14．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）A．16 B．20 C．24 D．325．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（       ）A． B．C． D．6．（多选题）若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（       ）A．B．准线方程为C．当时的面积为D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是7．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（       ）A．抛物线的准线方程是B．当轴时，取最小值C．若，则的最小值为D．以线段为直径的圆与轴相切8．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（       ）A．B．点P纵坐标的取值范围是C．点N到圆心C距离的最小值为1D．若l不经过原点，则周长的取值范围是9．（多选题）已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（       ）A．抛物线的准线方程为B．直线与抛物线相交所得的弦长为15C．外接圆的半径为4D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为110．（多选题）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（       ）A．|PM|+|PF|的最小值为3B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3C．存在直线l，使得A，B两点关于对称D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为211．已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________.12．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________.13．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______.14．已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________.15．已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．16．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的取值范围为________.17．已知直线l1:x－y－5=0和直线l2:y=－4，抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______18．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为.(1)求，的值；(2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值.19．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.(1)求抛物线的方程；(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.20．已知点在曲线上.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.21．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为．(1)求抛物线的标准方程；(2)设线段、长度分别为、，求的取值范围．22．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.(1)求抛物线方程；(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.23．如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.(1)证明：以为直径的圆经过点；(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.24．如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．