抛物线必会十大基本题型专题05以抛物线为情境的面积问题——双抛物线必会十大基本题型讲与练（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练05以抛物线为情景的面积问题典例分析类型一、以抛物线为情景的四边形面积问题1．过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ）A． B． C． D．2．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________.3．如图，已知点，抛物线的焦点是，A，B是抛物线上两点，四边形是矩形．（1）求抛物线的方程；（2）求矩形的面积．类型二、以抛物线为情景的三角形面积问题1．已知抛物线的准线方程为，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为.(1)求实数p的值；(2)求的面积.2．已知抛物线C：（p>0），过C的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，当⊥x轴时，|AB|=4.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，过点F的另一条直线与C交于M、N两点，设，的斜率分别为，，若（），且，求直线的方程.3．已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点.（1）求抛物线的方程；（2）求的值；（3）如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.类型三、抛物线与椭圆交汇的面积问题1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上的一点，的周长为6，过焦点的弦中最短的弦长为3；椭圆的右焦点为抛物线的焦点．（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）过椭圆的右顶点Q的直线l交抛物线于A、B两点，点O为原点，射线、分别交椭圆于C、D两点，的面积为，以A、C、D、B为顶点的四边形的面积为，问是否存在直线l使得？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．类型四、抛物线与圆交汇的面积问题1．已知焦点为的抛物线：，圆：，直线与抛物线相切于点，与圆相切于点．（1）当直线的方程为时，求抛物线C1的方程；（2）记分别为的面积，求的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值．类型五、抛物线与双曲线交汇的面积问题1．已知双曲线C1：，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．(1)求抛物线C2的方程；(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．巩固练习1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（       ）A． B．或 C． D．或2．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（       ）A．6 B．3 C． D．3．设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（       ）A． B． C． D．4．（多选题）如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（       ）A．若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值B．的面积是定值C．线段、长度的平方和是定值D．设，则5．已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则抛物线方程为____________，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为__________.6．抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______.7．直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点，当为抛物线上位于线段下方（含）的动点时，则面积的最大值为______.8．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．9．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为______.10．如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．11．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.（1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；（2）若恰好被平分，求面积的最大值12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点.(1)证明：以为直径的圆与直线相切；(2)设(1)中的切点为，且点位于轴上方，若的面积为，求直线的方程.13．已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.14．已知直线与抛物线相交于点A，B，与x轴相交于点D，线段AB的中点为．(1)求p的值；(2)若抛物线上存在一点N不同于点A，B，满足，求的面积．15．已知抛物线C：，直线l过抛物线焦点F，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点M的纵坐标为1.(1)求直线l的方程；(2)求（O为坐标原点）的面积.16．如图，已知抛物线和点，点P到抛物线C的准线的距离为6．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点P作直线交抛物线C于A，B两点，M为线段的中点，点Q为抛物线C上的一点且始终满足，过点Q作直线交抛物线C于另一点D，N为线段的中点，F为抛物线C的焦点，记的面积为，的面积为，求的最小值．17．已知为抛物线：上的一点，为抛物线的准线上的一点，且的最小值为1．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作抛物线的切线，，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出面积的最小值．18．已知抛物线，直线，与抛物线C分别交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M．当时，直线AB的斜率为1．(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；(2)请探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出其最大值．