抛物线必会十大基本题型专题10以抛物线为情境的探索性问题（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练10以抛物线为情景的探索性问题典例分析类型一、有关直线存在性的探索1．已知抛物线上的点到准线的距离为a．(1)求抛物线C的方程；(2)设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合．(1)求抛物线的标准方程；(2)是否存在过焦点F的直线，使得与抛物线和圆顺次交于A、B、C、D四点，并且、、满足？若存在，求出直线的方程．类型二、有关三角形面积最值得探索1．在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两个不同的动点A、B满足．(1)求的重心G的轨迹方程；(2)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2．已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．类型三、有关定点存在性的探索1．已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率分别为的两条直线，若与抛物线的另一个交点分别为，且有，探究：直线是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.2．如图，点是圆：上的动点，点，线段的垂直平分线交半径于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．3．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线，，直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E两点，且当的斜率为1时，．(1)求抛物线C的方程．(2)若点M，N满足，，探究：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．类型四、有关定值存在性的探索1．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．(1)求的轨迹的方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．巩固练习1．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于､两点，与轴交于(1)当，时.求的值；(2)当点重合时，点关于轴的对称点为点，试问直线是否过轴上的定点？若是，请求出点的坐标；若不是，请说明理由.2．已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．(1)求抛物线H的方程；(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．①求证：．②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，3．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．(1)求p；(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．5．已知抛物线过点，O为坐标原点.(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.6．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且它们的一个交点为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设点，，若过的直线与抛物线交于不同的两点，，且直线与抛物线交于点（不同于点），问直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.7．已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且．(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．9．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条相互垂直的直线，，直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E两点，且当的斜率为1时，．(1)求抛物线C的方程．(2)若点M，N满足，，探究：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．10．已知抛物线的焦点为，且过的弦长的最小值为4.(1)求的值；(2)如图，经过点且不过原点的直线与抛物线相交于两点，且直线的斜率分别为.问：是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标.11．已知抛物线：，点在的焦点的右侧．且到的准线的距离是到距离的倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点．（1）求抛物线的标准方程；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．12．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．13．在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。