抛物线必会十大基本题型专题03 抛物线的焦点弦问题（原卷版）

抛物线必会十大基本题型讲与练03抛物线的焦点弦问题典例分析类型一、求焦点弦的弦长1．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（       ）A．12 B．18 C．16 D．82．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，现将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则（       ）A．1 B． C．2 D．33．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.类型二、求焦点弦的所在直线的斜率1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（       ）A． B． C． D．2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（       ）A． B． C． D．3．设抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）A． B． C． D．4．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则(       )A．B．点的坐标为C．D．弦的中点到轴的距离为类型三、有焦点弦的最值问题1．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线、，直线与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则的最小值为(       )A． B． C． D．2．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（       ）A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______．类型四、焦点与共线向量交汇问题1．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（       ）A． B． C． D．2．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6巩固练习1．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（       ）A． B． C．1 D．22．过抛物线：焦点且斜率为的直线与交于，两点，设满足，则为（        ）A． B．C． D．3．已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（       ）A． B．C． D．4．抛物线：的焦点为，直线过点，斜率，且交抛物线于，（点在轴的下方）两点，抛物线的准线为，为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论：①；②平分；③．其中正确的结论个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．35．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（     ）A．若直线l⊥x轴，则|AB|=2 B． C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=6．（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（       ）A．没有最大值也没有最小值 B．C． D．7．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（       ）A．若，则B．若，则平分C．若，则D．若，延长交直线于点，则，，三点共线8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ）A．B．以为直径的圆与直线相切C．的最小值为D．的最小值为9．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，则（       ）A．B．以为直径的圆与直线相切C．的最小值D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（       ）A．以线段为直径的圆与直线相切B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时，D．的最小值为11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（       ）A．若点，则的最小值是4B．C．若，则直线的斜率为D．的最小值是912．已知直线过抛物线：的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（       ）A． B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时， D．面积的取值范围为13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则______________.14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．15．已知抛物线：直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率___________.16．已知F是抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，线段中点的纵坐标为4，则________．18．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则=_______.17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.18．已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程．19．如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．