高考数学专题07以双曲线为情境的定点问题（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练07以双曲线为情境的定点问题典例分析类型一：求线过定点1．双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________．【答案】【分析】根据双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立，表示出直线的方程，令，结合韦达定理求解.【详解】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为，令化简得，，即，则恒成立，所以直线必定经过的定点的坐标为。2．已知双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为________．【答案】【解析】联立直线与双曲线求出韦达定理，由题知，结合斜率公式和韦达定理即可求解【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，所以，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，即，所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件．故直线l过定点.类型二：探索线过定点1．已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.(1)求的方程；(2)是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.【解析】(1)双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；对双曲线，令，解得，则，解得，故双曲线方程为：.根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，可得，则，即，此时直线与双曲线交于两点，则，则，即，即，则，此时满足题意；若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.综上所述，存在轴上的一点满足.【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.2．已知双曲线C：0)经过点P(－2，1)，且C的右顶点到一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点P分别作两条直线与C交于A，B两点(A，B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为．若，试问直线AB是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】(1)，(2)是，【分析】（1）将点代入得到，根据点到直线的距离公式得到，解得方程.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据得到，得到直线定点.【解析】(1)，右顶点为，不妨取渐近线为：，故，联立解得，，则双曲线C的方程为：.(2)设，①当AB斜率不存在时，设AB：，所以，则，即AB：；②当AB斜率存在时，设AB：，联立得，所以，，，化简得，即，所以或，分别过和（舍去）．综上，AB恒过．类型三：证明线过定点1．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.【答案】(1).(2)证明见解析.【分析】（1）由已知得点，，在曲线上，代入建立方程组，求解即可；（2）当直线斜率不存在时，求得，，的坐标，得出直线的方程，得出过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立整理得，，再计算得，从而得出结论.【解析】(1)因为四点，，，中恰有三点在上，而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，代入可得，解得，所以的方程为：.(2)当直线斜率不存在时，得，，，则直线方程为，过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立，整理得，，，，则，所以，又，所以，即直线过点。2．在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数求解；（2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为，，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为，()，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可.【解析】(1)设P(x，y)，因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，所以，化简得，所以曲线E的方程为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，分别联立，解得M(，)，N(，－)，此时直线MN的方程为，过点(，0)；当直线MN斜率存在时设其方程为，()由，消去y得，所以，即，，，因为AM⊥AN，所以，即，即，即，将，代入化简得：，所以或，当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)，当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)，综上所述直线MN过定点(，0).类型四：证明圆过定点1．已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．(1)求C的方程．(2)A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）由C的渐近线方程得出，设C的方程为，将点代入可得，即可得方程；（2）根据点斜式写出直线，方程，从而得到M，N两点坐标，写出以为直径的圆方程表达式，即可证明结果．【解析】(1)由C的渐近线方程为，得，故可设C的方程为，将点代入可得，故C的方程为．(2)证明：设，则直线的方程为，令，得，则，直线的方程为，令，得，则．设是以为直径的圆上任意一点，则，即，，即，因为在C上，所以，则，所以，令，得．故以为直径的圆过两个定点，且这两个定点的坐标分别为。2．已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【答案】(1)；(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和【分析】（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标【解析】(1)由题意得：，因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为：(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为由可得：设、，则由：，由直线AM方程，令，得点由直线AN方程，令，得点则以EF为直径的圆的方程为：令，有：将，代入上式，得可得：解得：，或即以EF为直径的圆经过点和；②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和综合可得，以EF为直径的圆经过定点和方法点拨1、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.2．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．3．直线过定点问题的解题模型巩固练习1．已知为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，若在轴的负半轴上存在定点，使得，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，按和分类讨论，时，结合正切的二倍角公式求得值，从而得正确选项．【详解】由题知.设，当时，因为，所以，所以，所以，即.当时，，.因为，所以.将代入并整理得，由解得.2．双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点.【详解】设的方程为,则由设，又，，又代入整理得：或，当，直线过，舍去当b=3时，过定点。3．已知双曲线C的渐近线方程为，且过点P（3，）．(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；（2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得过定点再由直角三角形的性质可得结论，.【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；(2)显然直线的斜率不为零，设直线为，，联立，消整理得，依题意得且，即且，，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R，若N和M不重合，则△为直角三角形，所以，若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上．4．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.(1)求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，.【分析】（1）根据给定条件求出a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程.（2）直线AB斜率存在且不为0时，设出AB方程并与C的方程联立求出M的坐标，再得N的坐标，就直线MN的斜率存在与否讨论，最后分析AB斜率不存在或为0的情况作答.【解析】(1)依题意，c=2，，解得，所以双曲线的方程为：.(2)点，当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为：，，，由消去x并整理得：，显然，则，有，于是得弦AB中点，因，同理可得点，当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率，因此，直线MN的方程为：，化简得，于是得直线MN恒过定点，当直线MN垂直于x轴时，由得，直线MN：过定点，则当直线AB不垂直于坐标轴时，直线MN恒过定点，当AB垂直于x轴，即k=0时，则弦AB的中点M与F重合，弦CD的中点N与原点重合，此时MN为x轴，直线MN过，当AB垂直于y轴时，则弦AB的中点M为原点，弦CD中点N与F重合，此时直线MN为x轴，直线MN也过点，所以直线MN恒过定点.5．在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，直线过定点【分析】（1）根据题意可得，化简求解即可；（2）设，，分两种情况：①若直线，都存且不为零，设直线的方程为，联立双曲线方程结合韦达定理可得，进而可得线段的中点为的坐标，同理可得线段的中点为的坐标，写出当时，当时，直线的方程，②若直线，中其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在，写出，的方程，即可得出答案.【解析】(1)设，根据题意可得，化简得曲线