高考数学专题03椭圆的离心率——备战2022年高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型 （解析版）

椭圆必会十大基本题型讲与练03椭圆的离心率典例分析类型一、利用定义法求离心率1．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于、两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】看问题：求椭圆的离心率（属于求值问题）想方法：求值问题考查方程思想的应用，找等量关系，因为，所以建立关于或的方程，利用整体思想求离心率，或者是求出c的值和a的值，再求离心率。看条件：直线经过椭圆的左焦点，由此可得，即直线交轴于点，由此得点，，根据向量相等坐标相同可得，直线交椭圆于、两点，由此知点A在椭圆上，根据椭圆定义可求出a的值定措施：利用定义法求该椭圆的离心率.【详解】由题意可知，点在直线上，即，可得，直线交轴于点，设点，，，由可得，解得，椭圆的右焦点为，则，又，，因此，该椭圆的离心率为.2、已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)【答案】D【解析】如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq\r(3)，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝eq\f(|PB|,|AB|)＝eq\f(\r(3),a＋2)＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4).3、如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,3)【答案】B【解析】设圆柱的底面直径为d，则椭圆的短轴长为d，椭圆的长轴长2a＝eq\f(d,cos45°)＝eq\r(2)d，所以a＝eq\f(\r(2),2)d.根据c＝eq\r(a2－b2)得，c＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)d))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)d))2)＝eq\f(1,2)d，则椭圆的离心率e＝eq\f(\r(2),2).故选A.4．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直角三角形可把用表示，再由椭圆定义得关系，然后由离心率定义计算．【详解】设|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝.故选：B．类型二、利用齐次式法求离心率的最值或取值范围.1．设、为椭圆上关于原点的两个对称点，右焦点为，若，，则该椭圆离心率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】看问题：求椭圆的离心率的取值范围（属于范围问题）想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想看条件：，由此可得不等关系，定措施：先求出圆与椭圆的交点，进而表示出，再根据建立关于离心率的不等式，由此解出离心率的取值范围。【详解】关于原点对称，故，若，则椭圆与圆没有交点，，即，设，不妨设，则，整理可得，解得，，解得，，即，，解得.综上所述，可得.故选：A2．如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段交椭圆于点Q．若，，则椭圆的离心率是（）A． B．C．D．【答案】D【分析】由可得点的横坐标为，再由可求出得点的纵坐标的绝对值为，然后将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率【详解】由题意得，设，因为，所以，得，因为，所以，所以，因为在椭圆上，所以，化简得，，因为，所以，，得，解得或（舍去）故选：D3．已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))【答案】C．【解析】设P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，则线段PF1的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)，\f(y0,2)))，∵线段PF1的中垂线恰好过焦点F2，∴kPF1·kF2M＝eq\f(y0,x0＋c)·eq\f(\f(y0,2)－0,\f(x0－c,2)－c)＝－1，化为eq\f(y\o\al(2,0),x0＋cx0－3c)＝－1，∴b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2)))＋(x0＋c)(x0－3c)＝0，化为c2xeq\o\al(2,0)－2a2cx0＋b2a2－3a2c2＝0，解得x0＝eq\f(a2±2ac,c)，∵－a≤x0≤a，∴x0＝eq\f(a2－2ac,c)，∴－a≤eq\f(a2－2ac,c)≤a.∴c≤a≤3c，∴eq\f(1,3)≤eq\f(c,a)≤1.又0b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)