北京市大兴区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题

大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测试卷2022.12高三数学学校__________ 姓名__________ 班级__________ 考号__________考生须知1.本试卷共4页，共两部分，21道小题。满分150分。考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A. B. C. D.3.在展开式中，的系数为A.10 B.5 C. D.4.设为等差数列的前项和.已知，，则（）A.为递减数列 B. C.有最大值 D.5.已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（）A.3 B.4 C.5 D.6.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（）A. B. C. D.8.已知数列中，，，，则下列结论错误的是（）A. B.C.是等比数列 D.9.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（）A. B. C.1 D.210.已知函数，给出下列结论：①是周期函数；②的最小值是；③的最大值是；④曲线是轴对称图形，则正确结论的序号是（）A.①③1 B.②④ C.①②③ D.②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知复数满足，则______.12.一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.13.在中，，.若，则______；若满足条件的三角形有两个，则的一个值可以是______.14.已知函数若，则函数的值域为______；若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______.15.在正方体中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，有下列四个结论：①存在点，使得；②三棱雉的体积保持不变；③的面积越来越小；④线段上存在点，使得，且.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14分）函数（，，）部分图象如图所示，已知.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求的单调减区间.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.17.（本小题14分）如图，在四棱雉中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题14分）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有，，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲类别猜对的概率0.80.5获得的奖励基金额/元100020003000（Ⅰ）求甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；（Ⅱ）若，设甲按“，，”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）写出的一个值，使得甲按“，，”的顺序猜歌名比按“，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）19.（本小题14分）已知椭圆：经过直线：与坐标轴的两个交点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，求证：为线段的中点.20.（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求的值；（Ⅱ）判断函数单调性并说明理由；（Ⅲ）证明：对，都有成立.21.（本小题14分）已知数列，为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合，中元素的最大值记为，最小值记为.（Ⅰ）若为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，写出，的值；（Ⅱ）若，求的最大值及最小值；（Ⅲ）若，求的最小值.大兴区2022～2023学年度第一学期期末检测高三数学参考答案与评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910ACCBBADDDB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 12. 13.2；之间的任意一个角都可以14.； 15.①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）三、解答题（共6小题，共85分）16.（本小题14分）解：由图可知，所以.又知.所以.（Ⅰ）若选择条件①②，即，.因为.由图可知，，即因为，所以当时，.所以.又因为.所以.所以.若选择条件①③，即，.因为.由图可知，，即.因为，所以当时，.所以.又因为，所以.所以.若选择条件②③，即，.因为，由图可知，当时取得最大值，即，由得，，因为，所以.又，所以.所以.（Ⅱ）因为函数的单调递减区间为，，由，，2分得，.所以单调递减区间为，.17.（本小题14分）解：（Ⅰ）连结，，与交于点，因为底面是直角梯形，，为的中点.所以且，即为平行四边形，所以点是中点，连结，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为为等边三角形，为的中点，所以.又面面，面面，所以面，又因为，，所以.如图建立空间直角坐标，可知，，，，易知，设面的法向量为，且，，即所以，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18.（本小题14分）解：（Ⅰ）设“甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件，则.所以，甲按“，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1000，3000，6000，，，，.所以随机变量的分布列为01000300060000.20.40.30.1所以.（Ⅲ）均可.19.（本小题14分）解：（Ⅰ）直线：与坐标轴的两个交点为，，由于，所以，，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，设方程为，即.由，消元得，整理得由，可得.设，，则，.由题意，将，代入：得，直线的方程为，令得，所以所以，点是线段的中点.20.（本小题15分）解：（Ⅰ），所以，由，得，所以.（Ⅱ）函数在单调递增.因为，所以函数定义域为.，因为，所以.因为，所以.因此函数在区间上单调递增.（Ⅲ）证明：当时，显然有，不等式成立；当时，不妨设，由于函数在区间上单调递增，所以，则.因为，所以，所以，所以.综上，对任意的，成立.21.（本小题14分）解：（Ⅰ），.（Ⅱ）最小值为6，的最大值6063.证明：对于1，2，…，2021，2022的一个排列，若，则中的每一个元素为，，由题意，，那么，对于任意的，总有.同理，由题意，那么，对于任意的，总有，当时，满足：，.（Ⅱ）的最小值为6069.由于，对于1，2，…，2021，2022的一个排列，中的每一个元素为，，由题意，，对于任意的，都有，即，.构造数列：，，，对于数列，设任意相邻6项的和为，则，或若，则，若，则，所以，即对这样的数列，，又，所以的最小值为6069.