陕西省2024-2025学年高三上学期第一次校际联考（开学）数学试题

2025届高三第一次校际联考数学试题注意事项：1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题 共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．若复数，则（）A． B． C．2 D．43．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：．则这组数据的分位数为（）A．90 B．92.5 C．85 D．955．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．6．亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A．360种 B．288种 C．504种 D．480种7．由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（）A．3 B． C． D．8．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．若函数为“数列保增函数”，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对于函数和，下列说法正确的有（）A．与有相同的零点 B．与有相同的最值C．与有相同的周期 D．的图象与的图象有相同的对称轴10．已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（）A．为等差数列 B． C． D．当时，有最大值11．已知圆的圆心为E，抛物线的焦点为F，准线为l，动点P满足，则（）A．曲线E与C仅有一个公共点 B．点P的轨迹为椭圆C．的最小值为1 D．当点P在l上时，第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量，若，则实数_______．13．_______．14．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，已知．（I）求角C的大小；（Ⅱ）求的值．16．（本小题满分15分）已知函数．（I）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在上的值域．17．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．（I）求证：平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的大小．18．（本小题满分17分）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．（I）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．19．（本小题满分17分）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为．（I）记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点；（Ⅱ）若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为．（i）求；（ii）证明：是等比数列，并求．2025届高三第一次校际联考数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）9．ABC 10．AD 11．ABC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12． 13． 14．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（I），，．……（6分）（Ⅱ），，，．……（13分）16．解：（I）函数的定义域为R，，由，得；由，得或，故函数的递增区间为，递减区间为和．…（7分）（Ⅱ）由（I）可得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，，又，函数在上的值域为．……（15分）17．解：（I）证明：分别为的中点，，四边形为正方形，，，平面平面，平面．…（7分）（Ⅱ）四边形为正方形，，平面平面，两两垂直，故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则即得令，则，设直线与平面所成角为，，，直线与平面所成角的大小为．…（15分）18．解：（I）不妨设双曲线C的半焦距为，，，解得，则，故双曲线C的方程为．……（8分）（Ⅱ）证明：设．则，为双曲线C上的两点，两式相减得，整理得，则，故为定值，定值为4．…（17分）19．解：（I）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，，，在上单调递增，在上单调递减，，此时．……（6分）（Ⅱ）（i），则．…（10分）（ii）证明：由题意，，2，是首项为，公比为的等比数列，…（14分）故，．…（17分）