2025届高三综合测试（一）数学参考答案一、选择题12345678BADDAACC91011ABCBCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.8．13.4051．14.10f′()exxx−efx()fx()8．【详解】因为f′()x=e(2xx−+2)fx()，所以=2x−=2[]′，ee2xxfx()从而=−+x22xc，即fx()=e(xx2−+2xc)，其中c为常数，ex又fc(0)=1=，故fx()=ex(x2−+2x1)，则f′(x)e=x()x2−1，当x∈(−∞,1−)时，fx′()>0，fx()为增函数；当x∈−(1,1)时，fx′()<0，fx()为减函数；当x∈(1,+∞)时，fx′()>0，fx()为增函数，4所以当f(1)<，当0<时gx′>()0，当exa<<时gx′<()0，则gx()在(0,e)和(,a+∞)上单调递增，在(,ea)上单调递减，若0<时gx′>()0，当axe<<时gx′<()0，则gx()在(0,a)和(,e+∞)上单调递增，在(,)ae上单调递减，故g（e）=0或g（a）=0时，函数gx()才可能有两个零点，又g（a）=ln2a−≠b0，故g（e）=0，此时显然有两条切线，2a13所以ge()=−−1b=0，即2a=eb(+1)，当b=时，a=ee<，故A错误，B正确；e24由上述分析，，，当时，，在和上单调递增，ex∈{1x2}ae>x1=ea0xx22所以，当时，，fx()2>b0<gx()在(0,a)和(,e+∞)上单调递增，在(,)ae上单调递减，示意图如图．显然2，由，得x12<===a,f(x)f()elne12a=eb(+1)2a22aeb=−1，所以b=−<1−=11，即fx()>b，eee2综上，，故选项和正确．故选：．x12<>af()xbCDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【解答】解：由a表示数学课，b表示语文课，c表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得若A班排课为aabbc，则B班排课为bbcaa，若A班排课为bbaac，则B班排课为aacbb，若A班排课为aacbb，则B班排课为bbaac，或B班排课为cbbaa，若A班排课为bbcaa，则B班排课为aabbc，或B班排课为caabb，若A班排课为cbbaa，则B班排课为aacbb，若A班排课为caabb，则B班排课为bbcaa，则共有8种不同的排课方式．故答案为：8．13．【解答】解：根据题意，因为函数y=fx(+−2)1为定义在R上的奇函数，第2页（共8页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以函数fx()的图象关于(2,1)中心对称，则有fx()+f(4−=x)2，且f（2）=1，故fi(−2024)=[f(−2023)+f(2027)]+[f(−2022)+f(2026)]+…+[f（1）+f（3）]+f（2）=2025×+=214051．故答案为：4051．．解：固定每个，考察路灯14n∈{1,2,,100}Ln.根据题意，被第名行人改变开关状态，当且仅当为的正约数（注意的正约数都不超过，故Lnkknn100每个正约数均可对应到某一名行人）所以最终为开，当且仅当的正约数个数为奇数以下证明这等价.Lnn.nn于n为平方数.事实上，n的每个正约数d均可对应到正约数d′=，其中，d对应到自身当且仅当d=，dd即dn=.这意味着，n的正约数个数为奇数当且仅当n是n的正约数，即n为平方数.因此，当所有行人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，，100的路灯是开着的，所以共有10个路灯处于开着状态.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）因为2cBsin=2b，由正弦定理可得2sinCBsin=2sinB，···············1分在∆ABC中，sinB>0，···············2分2可得sinC=，而C∈(0,π)，···············3分2π3π可得C=或C=；···············5分（少一个解扣一分）44（2）因为tanABC=tan+tan，由恒等式tanA++tanBtanC=⋅⋅tanABCtantan，得2tanA=tanABCtantan，得tanBCtan=2，···············7分所以只可能是tanC=1，tanB=2，···············8分此时tanA=3，···············9分31025所以sinA=，sinB=，···············11分（每求对一个给1分）10525×2sinBa⋅451042所以b==5=×=，···············12分sinA3105310310114224所以S=absinC=××2⋅=．···············13分∆ABC22323（注：分类讨论代入C，然后消元求解，自行给评分标准即可）第3页（共8页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}116．【解答】（1）证明：连接EC交BD于N，由E是AD的中点可得DE=BC=1，21则∆DEN与∆BCN相似，所以EN=NC，···············1分21又PM=MC，···············2分2PMEN∴=···············3分MCNC∴MN//PE，···············4分又MN⊂平面BDM，PE⊂/平面BDM···············5分∴PE//平面BDM；···············6分（2）解：如图，建立空间直角坐标系，E(0，0，0)，A(1，0，0)，D(1−，0，0)，B(1，2，0)，C(1−，2，0)，P(0，0，2)，···············7分1122PC=−−(1,2,2),PM=PC=−−(,,)，3333124则M(−,,)，···············8分333设平面的法向量为，AMBn1=(,xyz111,)424由AB=(0,2,0),AM=(−,,)，333=20y1AB⋅=n10则，即424，···············9分AM⋅=n0−+xyz111+=01333取，可得，···············分x1=1n1=(1,0,1)10由（）可取平面的法向量为，···············分1BDMn2=(1,−1,0)12||nn⋅所以，121，···············分（公式给分，|cos=|=141|nn12|||2代入求解给1分）1即平面AMB与平面BDM的夹角余弦值为，2π所以平面AMB与平面BDM的夹角为．···············15分317．【解答】解：（1）补全列联表如下：第4页（共8页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200200(65×−×553545)2800则K2==≈>8.086.635，···············4分100×××1001109099（第一个等号2分，第二个等号1分，判断大于1分）所以有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关；···············5分（2）()i易知X的所有可能取值为1，2，3，CC118此时==42=，···············分PX(1)2226CCC642153A32C12==3=，···············分PX(2)2227CCC64253A311===，···············分PX(3)2228CCC642153A3则X的分布列为：X123861P151515···············9分86123所以EX()1=×+×+×=23；···············10分15151515()ii证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4，…，2n，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外还有22n−种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n−1根绳子进行打结，不妨设*根绳子打结后可成圆的种数为，nn()∈Nan那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，···············分n−1an−111第5页（共8页）{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}所以，，···············分ann=(2na−2)−1n≥212a即n=22n−，an−1an−1=24n−，an−2，…，a2=2，a1a以上各式累乘得n=(2nn−2)(2−4)…=22n−1(n−1)!，a1易知，a1=1所以n−1，···············分ann=2⋅−(1)!13另一方面，对2n个绳头进行任意2个绳头打结，CC22…C22nn(2−1)(2n−2)…×21(2n)!总共有N=2nn22−2==，···············14分n!2!nnnn2!a2nn−−1⋅−(n1)!221⋅nn!(−1)!则P=n==．···············15分Nn(2n)!(2)!2!n⋅n．【解答】解：（）设上任意一点，，，光线从点至点的光程为，181CTx(0y0)x0<0N(2,0)δ1光线穿过凸透镜后从点折射到点的光程为，T(2,0)δ2则22，···············分δ1=×+=1345122