河南省创新发展联盟2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（含解析）

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.32.已知符号）（表示不平行，向量，.设命题，）（，则（）A.，，且为真命题B.，，且为真命题C.，，且为假命题D.，，且为假命题3.若，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知等比数列的前项和为，且，则“”是“的公比为2”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数，若，且a，b是的图像与直线的两个交点对应的横坐标，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中，，.连接AD，若，则（）A.1 B.2 C. D.7.若，对恒成立，则（）A. B. C. D.8.已知是函数图象上的一点，点在直线上，则的最小值是（）A. B.3 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列，的前项和分别为，，且，则下列结论不正确的是（）A.若是递增数列，则是递增数列B.若是递减数列，则是递减数列C.若是递增数列，则是递增数列D.若是递减数列，则是递减数列10.已知为奇函数，，且对任意，都有，则必有（）A. B. C. D.11.已知函数，则（）A.的图象关于点中心对称B.的图象关于直线对称C.的值域为D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数.第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第天测得该污染物的浓度变为，则__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，.（1）求的值；（2）若，求的周长.16.（15分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的零点；（3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.17.（15分）已知函数，且.（1）求的值；（2）求不等式的解集.18.（17分）已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.19.（17分）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.（1）若，判断是否为“和等比数列”.（2）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为.①求的和公比；②求；③若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C由题意可得.因为，所以，解得.2.A，，当，即时，，所以为真命题.3.B当，时，，此时，则A错误.因为，所以，且，所以，所以，则B正确.当，时，，此时，则C错误.当，，时，，，此时，则D错误.4.A设的公比为，则.因为，所以.由，得，即，解得或.由，得，则“”是“的公比为2”的必要不充分条件.5.B由题意可得，，则，当且仅当时，等号成立.故的最小值为4.6.A如图，以为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立直角坐标系，设，则，，，故，.作，交AB的延长线于点.设，则，所以，所以.因为，所以，则.7.B因为，所以.当时，；当时，；当时，.因为对恒成立，所以1，7是的两根，且，则故，，，.8.D由题意可得.设，则，当时，，当时，，单调递增.因为，所以，得，此时，故.9.ABD当时，是递增数列，此时不是递增数列，则A错误.当时，是递减数列，此时不是递减数列，则B错误.由是递增数列，得是递增数列，且，则是递增数列，故C正确.由是递减数列，得是递减数列，且，则是递增数列，故D错误.10.CD由为奇函数，可得，则的图象关于点对称.又，所以的图象关于直线对称，则是以8为周期的周期函数，所以，，，，故选CD.11.ACD因为，所以的图象关于点中心对称，则A正确.由题意可得，则，，所以，所以的图象不关于直线对称，则B错误.由题意可得.设，则，故.由，得；由，得或，则在和上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以，即的值域是，则C正确.当时，.因为在上单调递减，且在上单调递减，所以在上单调递增，则D正确.12.由余弦定理可得，则.因为，所以，则外接圆的半径，故外接圆的面积为.13.7由题意可得则，解得.因为，即，所以，所以，解得.14.15由题可知，则，则.由，得，故原式.15.解：（1）因为，且，所以.因为，所以，所以，即.因为，所以.因为，所以.（2）由（1）可知，，，，则.由正弦定理可得，则，，故的周长为.16.解：（1）由图可知，，的最小正周期.因为，且，所以.因为的图象经过点，所以，即，所以，即.因为，所以.故.（2）令，得，则或，解得或，故的零点为或.（3）由题意可得.因为，所以.当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.故在上的值域为.17.解：（1）因为，所以，则.又，所以，从而.（2）由（1）可知，显然在上单调递增.因为，所以由，可得，则，解得或，故不等式的解集为.18.解：（1）当时，，其定义域为，则.当时，，的单调递增区间为，当时，，的单调递减区间为，故的极大值为，无极小值.（2）设，，，，则.设，则.设，则函数的图象关于直线对称.①当时，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，则，即在上恒成立，故符合题意.②当时，在上单调递减或在上先增后减，因为，所以存在，使得.当时，，即，所以在上单调递增.因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，则，故不符合题意.综上，的取值范围为.19.解：（1）因为，所以，所以.因为，所以是首项为-1，公差为2的等差数列，则，所以，所以.因为不是常数，所以不是“和等比数列”.（2）①设等差数列的公差为，前项和为，则，所以.因为是“和等比数列”，所以，即，所以解得即的和公比为4.②由①可知，则，所以，所以，所以，即，所以.③设，.不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立.当为奇数时，，则；当为偶数时，，则.综上，的取值范围是.