辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高三上学期期中考试数学答案

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高三期中I考试数学试卷命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，，而，所以.故选：C2.“”是“函数在上单调递减的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当时，，由，则，单调递减成立，即充分性成立；当时，函数在上单调递减，推不出成立，如，故必要性不成立；综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.故选：A3.在中，点在边上，，记，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系.【详解】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示：.故选：B.4.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解.【详解】依题意，，当时，，当时，，所以函数的值域为.故选：B5.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.【详解】函数，令，即，解得或，所以的定义域为，又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为.故选：C6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出、，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，，解得，所以.故选：A7.设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得，结合函数的奇偶性和单调性即可得出结论.【详解】由指数函数为单调递增函数可知，所以，又是定义域为上的偶函数，所以，由对数函数可知，，所以，即.故选：B8.已知向量，，函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，则f′x>0在上恒成立，不妨设，则原不等式可转化为，构造函数，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围【详解】因为，，所以，则，当时，，则恒成立，所以在上为增函数，不妨设，则，因为，所以等价于，即，令，，所以可知在上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上为减函数，所以，所以，所以实数取值范围为.故选：D【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列式子的运算结果为的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC10.已知向量，，则（）A. B.与向量共线的单位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】【分析】求出的坐标，利用坐标法求模，即可判断A；与向量共线的单位向量为，即可判断B；求出即可判断C；根据向量在向量上的投影向量是判断D.【详解】因为，，所以，则，故A错误；又，则与向量共线的单位向量为，即或，故B错误；因为，所以，故C正确；因为，，所以向量在向量上的投影向量是，故D正确.故选：CD11.已知函数，且对，都有，把图象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再把所得函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A. B.C.为偶函数 D.在上有1个零点【答案】ABD【解析】【分析】求出函数的导函数由可得关于直线对称，从而求得，即可得到，从而判断A；再根据三角函数的变换规则求出解析式，最后根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：因为，所以，，关于直线对称，，，又当时，，所以，故A正确；对于B：把图象上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，再把的图象向右平移个单位得到，即，当时，，∴关于点对称，满足，故B正确；对于C：∵，为非奇非偶函数，故C错误；对于D：当时，，则在上只有一个零点，故D正确.故选：ABD．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12.已知向量，，若，则实数_________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：13.已知函数，若，，且，则最小值是______.【答案】##【解析】【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】函数定义域为R，，因此函数是R上的奇函数，且在R上单调递增，由，得，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以最小值是.故答案为：14.已知函数，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】化简可得，构造，通过导数研究其单调性即可得其最值.【详解】，由题可得，故，令，，，由，则，则当时，，当时，，即在上单调递减，上单调递增，故，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造，利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求的值；（2）若，是方程的两个根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解；（2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以，解得；【小问2详解】因为，是方程的两个根，所以，∴，又，∴．16.已知函数在时取得极大值1.（1）求曲线，在点处的切线方程；（2）求过点与曲线相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程.（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解，进而可得结果.【小问1详解】函数，求导得，依题意，，解得，即，，由，得或，由，得，则处取得极大值1，即符合题意，于是，即切点坐标为，切线斜率，所以函数的图象在处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）得：，，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，由切线过点，得，整理得，解得或，所以切线方程为或，即或.17.已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到，求出参数的值，再检验即可；（2）首先求出在上的值域，再利用换元法求出在上的值域，依题意，即可得到不等式组，解答即可.【小问1详解】由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，，，，，所以当时的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m的取值范围是．18.已知函数，（1）求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求a的最小值；（3）如果存在实数m、n，其中，使得，求的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；（2）依题意可得在上恒成立，显然，参变分离可得，设，，利用导数得到，即可求出参数的取值范围，即可得解；（3）方法1：依题意可得函数在、0,+∞上为增函数，则，，从而得到，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围；方法2：依题意可得，，令，可得，，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围，从而得解.【小问1详解】∵定义域为0,+∞，，∴当时，f′x<0；当时，f′x>0；∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，无极大值．【小问2详解】依题可知，，在上恒成立，显然，所以，设，，，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．【小问3详解】方法1：由已知，则函数在、0,+∞上为增函数，若存在实数m、n，其中，使得，则，，由可得，则，故，令，，，可得.当时，φ′x<0，此时函数φx单调递减，当时，φ′x>0，此时函数φx单调递增，故，，又因为，，且，所以，因此，的取值范围是．方法2：由已知，则函数在、0,+∞上为增函数，若存在实数m、n，其中，使得，则，，令，则，可得，由可得，令，其中，令可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故当时，，又因为，，且，所以，因此的取值范围是．19.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ≤π2的图象如图所示.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数，在上的最大值和最小值.（3）若函数在内恰有个零点，求实数、的值.【答案】（1），（2）最大值为，最小值为（3），【解析】【分析】（1）根据函数图象求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先利用三角恒等变换公式化简ℎx的解析式，根据的取值范围，求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到，令gx=0，可得，令，得，则方程必有两个不同的实数根、，且、异号，再对、分类讨论，结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】由图象可得，最小正周期，又，则，由，所以，所以，，又，则易求得，所以，由，，解得，，所以的单调递增区间为，．【小问2详解】由题意得，因为，所以，从而可知，即，因此，所以当，即时ℎx取得最大值，当，即时ℎx取得最小值，故ℎx在上的最大值为，最小值为．【小问3详解】因为，令gx=0，可得，令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；③当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去；④当，时，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，此时，满足题意；因此，，，得，综上，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是推导出、异号且，再对、分类讨论.